作者mantour (朱子)
看板Math
標題[線代] 類似勞侖茲變換的證明
時間Mon Aug 19 19:56:33 2024
已知 A 是一個 2x2 實矩陣，且 det(A) = 1。
對於任意實數 x 和 y，有以下變換關係：
[x'] = A [x]
[y'] [y]
並且滿足：
x^2 - y^2 = 0 <=> x'^2 - y'^2 = 0
我想證明：
1. 對於任意實數 x 和 y， x'^2 - y'^2 = x^2 - y^2。
2. 矩陣 A 的形式為：
A = ± 1/√(1-v^2) * [1 v]
[v 1]
其中 -1 < v < 1。
請教除了設
A = [a b]
[c d]
下去硬爆之外有沒有什麼好方法
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1F：推 HmmHmm : 可以考慮A[1,1]和A[-1,1]是什麼 基本上有兩種情形 08/20 01:01
2F：→ HmmHmm : ［c,c] [d,-d] 和反過來 這樣就可以解出A了 然後2只 08/20 01:01
3F：→ HmmHmm : 是第一種情況 還有二種某個v要加負號 08/20 01:01
4F：推 HmmHmm : 你要證的東西都只對第一種情況對 第二種都不對 反例 08/20 01:11
5F：→ HmmHmm : 見A=［［0,-1], [1,0]] 08/20 01:11
6F：→ mantour : 感謝 08/20 01:17
7F：→ mantour : 所以加上第二種情況 x'^2-y'^2 = +/- (x^2-y^2) 08/20 01:20
8F：→ musicbox810 : 請問m大det(A)=1的意義是什麼? 08/20 10:10
9F：→ musicbox810 : 請問H大怎麼知道要對[1,1]和[-1,1]乘以A呢? 08/20 10:38
10F：→ musicbox810 : A應該是未知的，A[1 1]怎麼知道是什麼? 08/20 10:40
11F：→ mantour : 回樓上，因為 x'^2-y'^2=0, 所以 08/20 11:13
12F：→ mantour : x'=+/- y', 如果A[1,1]取x'=y', A[1,-1]就只能取x' 08/20 11:13
13F：→ mantour : =-y'，或是反過來 08/20 11:13
14F：→ mantour : 設det(A)=1是因為我希望有det(A) = det(A^-1), 所 08/20 11:18
15F：→ mantour : 以det(A)^2=1, 又我不要鏡像，所以希望det(A)>0 08/20 11:18
16F：→ musicbox810 : 再請問m大det(A) = det(A^-1)有什麼特別物理意義嗎 08/20 11:20
17F：→ musicbox810 : 看懂了,謝謝m大 08/20 11:21
18F：推 LeFilsDuVent: 可能要加上保持時間方向的條件才能推出那些性質 08/20 14:49
19F：→ musicbox810 : 請問樓上保持時間方向的條件是什麼？(ct)^2-x^2>0? 08/20 19:16
20F：推 topstr : 使得t>0的Lorentz boost 08/20 21:19
21F：推 topstr : if t>0,則經過boost後,t'也要>0 08/20 22:57
22F：→ musicbox810 : 謝謝，時間要是正向的 08/21 10:47
23F：→ musicbox810 : 抱歉m大，我沒有看懂為什麼需要det(A)=det(A^-1)? 08/21 11:47
24F：→ mantour : 我一開始先推出 x^2-y^2 = det(A) (x^2-y^2) 08/21 15:05
25F：→ mantour : 才回頭去設det(A)=1 08/21 15:06
26F：→ mantour : 考慮上面的第二種情況應該是 08/21 15:06
27F：→ mantour : x^2-y^2 = +/- det(A) (x^2-y^2) 才對 08/21 15:06
28F：→ mantour : 至於det(A)=1的意義, 我只能想到v=-v的時候平行四邊 08/21 15:08
29F：→ mantour : 型面積如果會從變大改成變小好像不太合理 08/21 15:09
30F：→ mantour : 更正 v 變成 -v的時候 08/21 15:10
31F：→ musicbox810 : m大的 x^2-y^2 = +/- det(A) (x^2-y^2)最初怎麼得到 08/21 19:42
32F：→ musicbox810 : 的呢? 08/21 19:42
33F：→ mantour : 跟一樓作法差不多, 因為x=y跟x=-y上的點變換後還是 08/21 21:42
34F：→ mantour : 要在這兩條線上, 所以以這兩個方向為基底伸縮 08/21 21:43
35F：→ mantour : (沒考慮到這兩個方向轉90度互換的case) 08/21 21:43
36F：→ mantour : 如果把任意x,y分解成(1,1)跟(1,-1)的線性組合 08/21 21:48
37F：→ mantour : 變換後(1,1)變成(a,a), (1,-1)變成(b,-b) 08/21 21:49
38F：→ mantour : 代進去化簡一下就會得到 x'^2-y'^2 = ab(x^2-y^2) 08/21 21:50
39F：→ mantour : 如果(1,1)變成(a,-a), (1,-1)變成(b,b) 08/21 21:50
40F：→ mantour : 應該也類似, 正負要小心處理一下 08/21 21:54
41F：→ musicbox810 : ab會剛好就是det(A)嗎?還有(+-a,+-a),(+-b,+-b)有16 08/21 22:22
42F：→ musicbox810 : 種組合 08/21 22:22
43F：→ musicbox810 : (1,1)變成(a,-a), (1,-1)變成(b,b)有假設a,b都>0嗎? 08/21 22:23
44F：→ mantour : 找了一下資料 似乎如果A可以從I經由連續無限小的 08/21 22:25
45F：→ mantour : 的變換達成, 那A就會符合我想要的條件 08/21 22:26
46F：→ mantour : |ab|=|det(A)| , 正負我不是很有把握 08/21 22:30
47F：→ mantour : 我以為(1,1) (1,-1)就是A的eigenvector 08/21 22:32
48F：→ mantour : 如果是的話det(A) = eigenvalue的乘積 08/21 22:33
49F：→ musicbox810 : 謝謝m大，原來如此 08/21 22:40
50F：推 topstr : 見Friedberg,Insel,Spence:線代 4e 6.9節 p457 08/23 20:55
51F：→ topstr : L_A是Minkowski metric , 08/23 20:56
52F：→ topstr : eq(18) 把(1,v)→(t',0),再把(1,0)→(t'',-vt'') 08/23 20:56
53F：→ topstr : 數學的書用偏有物理意義的方法解 08/23 20:57
54F：→ topstr : 應該不用假設null-like t^2-x^2=0, 08/23 21:00
55F：→ topstr : t^2-x^2 >0 time-like 也可以 08/23 21:01
56F：→ topstr : 只需t^2-x^2是 Lorentz invariant 08/23 21:02
57F：→ mantour : 我其實想知道的是能不能不需要假設t^2-x^2是 08/23 21:12
58F：→ mantour : invariant, 而是從t^2-x^2=0這個等式不變 08/23 21:13
59F：→ mantour : 導出t^2-x^2是invariant這件事 08/23 21:13
60F：→ mantour : 謝謝t大我再去找書來看 08/23 21:14
61F：→ mantour : 因為有些書都直接寫光速恆定所以(ct)^2-x^2是不變量 08/23 21:16
62F：→ mantour : 但是光速恆定應該只有保證 (ct)^2-x^2=0 時不變 08/23 21:17
63F：→ musicbox810 : 愛因斯坦推導時應該也只有用上光速恆定的假設 08/24 08:07
64F：推 Bugquan : 其實大部分的物理書，寫Lorentz transformation都 08/24 14:53
65F：→ Bugquan : 寫得不清不楚 08/24 14:53
66F：推 topstr : 另S.Weinberg:quantum theory of fields 1,2.3節 08/24 17:05
67F：推 topstr : 他有算|detA|^2=1,|A_tt| >或= 1 08/24 17:09
68F：推 topstr : (A_tt即是Lorentz factor γ) 08/24 17:10
69F：→ topstr : p69有推出Lorentz boost,but他推導很複雜,難懂 08/24 17:11
70F：→ topstr : Bondi:relativity & common sense有他自己獨特算法 08/24 17:11
71F：→ topstr : D'Inverno:introducting Einstein's relativity把 08/24 17:12
72F：→ topstr : k-ccalculus. 08/24 17:12
73F：推 Bugquan : 你要數學一點就參考這個吧，Leblond, Possible Kin 08/24 17:18
74F：→ Bugquan : ematics, 1968.四維時空然後滿足一些物理需求的， 08/24 17:18
75F：→ Bugquan : 最終還有11種變換，然後還要再進一步要求才是Poinc 08/24 17:18
76F：→ Bugquan : aré group 08/24 17:18
77F：推 topstr : 那本線代是require 內積space,跟你條件好像不太一樣 08/24 17:20
78F：→ topstr : 17:12 把它稱為k-calculus 08/24 17:22
79F：推 topstr : 21:16應該是(dt)^2-(dx)^2 is Lorentz inv. 08/24 17:29
80F：→ topstr : for light, 上式=0,(dx/dt)^2=1=c 08/24 17:30
81F：→ topstr : =1=c平方啦 08/24 17:31
82F：推 topstr : (dt)^2-(dx)^2 is Lorentz inv.應該是狹義相對性原 08/26 00:27
83F：→ topstr : 理來的 08/26 00:30
84F：推 topstr : 時空距離等純量在勞侖茲變換下保持不變 08/26 00:56
86F：推 topstr : Riemannian geometry (ds)^2是diffeomorphism inv. 08/26 07:13
87F：→ topstr : locally like n. 相對論(ds)^2 u,3是diffeomorphism 08/26 07:14
88F：推 topstr : 在相對論,(ds)^2 是diffeomorphism inv. of the 08/26 07:17
89F：→ topstr : 局部長得像R^1,3 08/26 07:18
90F：→ mantour : 我的問題應該比較接近是R^1,3是否真的是符合光速恆 08/26 09:12
91F：→ mantour : 定條件，和相對性原理的唯一可能。或是其實時空是R 08/26 09:12
92F：→ mantour : ^1,3應該是狹義相對論的一個公設。 08/26 09:12
93F：推 topstr : ds^2是diffeo.inv. of pseudo-Riemannian geo. 08/26 12:10
94F：→ topstr : term .ptt.cc真難用, 記憶體不夠 懶得用pcman 08/26 12:11
95F：→ topstr : 應該是內定了,狹義相對論指定了Minkowski spacetime 08/26 12:14
96F：→ topstr : 可能也可考慮dS,AdS 等空間的不變量,那可能如B大所 08/26 12:16
97F：→ topstr : 言的不同群。c=1,就ds^2=0,light-like 這是定義吧 08/26 12:18
98F：→ topstr : c不變量啦 我聽說光速不變是物理定律在慣性座標系 08/26 12:19
99F：→ topstr : 有相同型式,即要用張量表式,的特例,Einstein特別把 08/26 12:21
100F：→ topstr : 光速不變抓出來 因為很重要的關係. 08/26 12:21
101F：推 topstr : 黎曼幾何ds^2已經假定是座標變換不變量不是嗎 08/26 12:26
102F：推 topstr : 我好像說錯.應該是附加結構y 08/26 14:32
103F：→ topstr : left-invariant metrics on Lie groups 08/26 14:32
104F：→ mantour : 光速恆定是實驗結果，慣性座標未必要是黎曼空間， 08/27 00:04
105F：→ mantour : 如果必須以黎曼幾何為前提，那就是額外的公設了 08/27 00:04
106F：→ mantour : 牛頓力學在伽利略變換下也滿足“慣性座標，物理定 08/27 00:07
107F：→ mantour : 律不變” 08/27 00:07
108F：→ mantour : 所以相對性原理本身並沒有限定是在哪一種變換下物 08/27 00:08
109F：→ mantour : 理定律有不變性。 08/27 00:08
110F：→ mantour : 數學上直接從Minkoski spacetime出發，不會有任何 08/27 00:15
111F：→ mantour : 問題。但是應該有一個合理的論證“為什麼要是Minko 08/27 00:15
112F：→ mantour : wski spacetime"，而這樣的論證是否是數學上的有效 08/27 00:15
113F：→ mantour : 論證，還是物理學家偷渡了一些隱藏的假設，有沒有 08/27 00:15
114F：→ mantour : 一套物理公設可以導出狹義相對論空間必須是Minkows 08/27 00:15
115F：→ mantour : ki soacetime? 08/27 00:15
116F：→ mantour : 不過好像離原本問題很遠了，這應該超出我的程度， 08/27 00:17
117F：→ mantour : 感謝大大的分享。 08/27 00:17
118F：推 topstr : 光速在慣性座標變換下當然是是實驗結果,Michaelson- 08/27 16:25
119F：→ topstr : Morley干涉儀實驗.但Einstein把它提升到公設,而其他 08/27 16:28
120F：→ topstr : 物理學家如Poincare,Lorentz卻沒有這樣做,導致狹義 08/27 16:30
121F：→ topstr : 相對論的發明者歸於Einstein.黎曼幾何當然是彎曲空 08/27 16:31
122F：→ topstr : 間.Minkowski spacetime才是平坦的.幾何學要先給定 08/27 16:33
123F：→ topstr : 曲面方程式或度規吧.相對論性原理有2種,狹義的是要 08/27 16:37
124F：→ topstr : 求慣性座標變換,廣義的是任意座標變換diffeomorphis 08/27 16:38
125F：→ topstr : m.你當然可以做其他空間的相對論,如AdS、dS、confor 08/27 16:41
126F：→ topstr : mal、sphere、torus、hyperelliptic curve、Calabi- 08/27 16:46
127F：→ topstr : Yau、Jackiw-Teitelboim、Chern-Simons gravity 等 08/27 16:49
128F：推 topstr : signiture是(-+++)又平坦的、open應該只有Minkowski 08/27 16:53
129F：→ topstr : 我前面說過光速不變公設是狹義相對論性原理的特例 08/27 16:55
130F：→ topstr : 即光速不變是一種物理定律.感覺怪怪的,又是公設又是 08/27 16:57
131F：→ topstr : 定律. 08/27 16:57
132F：→ topstr : 光速在任意慣性座標變換下不變,光速是constant 08/27 16:59
133F：→ topstr : 光速是constant 4-velocity 08/27 17:00
134F：推 topstr : Poincare,Lorentz應該是要求光需要介質來傳遞 以太 08/27 17:07
135F：→ topstr : Einstein是丟掉以太,並提出2個公設而被公認為狹義相 08/27 17:08
136F：→ topstr : 對論的發明者。 08/27 17:09
137F：→ mantour : 謝謝t大詳細的說明 08/27 22:51