作者mantour (朱子)
看板Math
标题[线代] 类似劳仑兹变换的证明
时间Mon Aug 19 19:56:33 2024
已知 A 是一个 2x2 实矩阵，且 det(A) = 1。
对於任意实数 x 和 y，有以下变换关系：
[x'] = A [x]
[y'] [y]
并且满足：
x^2 - y^2 = 0 <=> x'^2 - y'^2 = 0
我想证明：
1. 对於任意实数 x 和 y， x'^2 - y'^2 = x^2 - y^2。
2. 矩阵 A 的形式为：
A = ± 1/√(1-v^2) * [1 v]
[v 1]
其中 -1 < v < 1。
请教除了设
A = [a b]
[c d]
下去硬爆之外有没有什麽好方法
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1F：推 HmmHmm : 可以考虑A[1,1]和A[-1,1]是什麽 基本上有两种情形 08/20 01:01
2F：→ HmmHmm : ［c,c] [d,-d] 和反过来 这样就可以解出A了 然後2只 08/20 01:01
3F：→ HmmHmm : 是第一种情况 还有二种某个v要加负号 08/20 01:01
4F：推 HmmHmm : 你要证的东西都只对第一种情况对 第二种都不对 反例 08/20 01:11
5F：→ HmmHmm : 见A=［［0,-1], [1,0]] 08/20 01:11
6F：→ mantour : 感谢 08/20 01:17
7F：→ mantour : 所以加上第二种情况 x'^2-y'^2 = +/- (x^2-y^2) 08/20 01:20
8F：→ musicbox810 : 请问m大det(A)=1的意义是什麽? 08/20 10:10
9F：→ musicbox810 : 请问H大怎麽知道要对[1,1]和[-1,1]乘以A呢? 08/20 10:38
10F：→ musicbox810 : A应该是未知的，A[1 1]怎麽知道是什麽? 08/20 10:40
11F：→ mantour : 回楼上，因为 x'^2-y'^2=0, 所以 08/20 11:13
12F：→ mantour : x'=+/- y', 如果A[1,1]取x'=y', A[1,-1]就只能取x' 08/20 11:13
13F：→ mantour : =-y'，或是反过来 08/20 11:13
14F：→ mantour : 设det(A)=1是因为我希望有det(A) = det(A^-1), 所 08/20 11:18
15F：→ mantour : 以det(A)^2=1, 又我不要镜像，所以希望det(A)>0 08/20 11:18
16F：→ musicbox810 : 再请问m大det(A) = det(A^-1)有什麽特别物理意义吗 08/20 11:20
17F：→ musicbox810 : 看懂了,谢谢m大 08/20 11:21
18F：推 LeFilsDuVent: 可能要加上保持时间方向的条件才能推出那些性质 08/20 14:49
19F：→ musicbox810 : 请问楼上保持时间方向的条件是什麽？(ct)^2-x^2>0? 08/20 19:16
20F：推 topstr : 使得t>0的Lorentz boost 08/20 21:19
21F：推 topstr : if t>0,则经过boost後,t'也要>0 08/20 22:57
22F：→ musicbox810 : 谢谢，时间要是正向的 08/21 10:47
23F：→ musicbox810 : 抱歉m大，我没有看懂为什麽需要det(A)=det(A^-1)? 08/21 11:47
24F：→ mantour : 我一开始先推出 x^2-y^2 = det(A) (x^2-y^2) 08/21 15:05
25F：→ mantour : 才回头去设det(A)=1 08/21 15:06
26F：→ mantour : 考虑上面的第二种情况应该是 08/21 15:06
27F：→ mantour : x^2-y^2 = +/- det(A) (x^2-y^2) 才对 08/21 15:06
28F：→ mantour : 至於det(A)=1的意义, 我只能想到v=-v的时候平行四边 08/21 15:08
29F：→ mantour : 型面积如果会从变大改成变小好像不太合理 08/21 15:09
30F：→ mantour : 更正 v 变成 -v的时候 08/21 15:10
31F：→ musicbox810 : m大的 x^2-y^2 = +/- det(A) (x^2-y^2)最初怎麽得到 08/21 19:42
32F：→ musicbox810 : 的呢? 08/21 19:42
33F：→ mantour : 跟一楼作法差不多, 因为x=y跟x=-y上的点变换後还是 08/21 21:42
34F：→ mantour : 要在这两条线上, 所以以这两个方向为基底伸缩 08/21 21:43
35F：→ mantour : (没考虑到这两个方向转90度互换的case) 08/21 21:43
36F：→ mantour : 如果把任意x,y分解成(1,1)跟(1,-1)的线性组合 08/21 21:48
37F：→ mantour : 变换後(1,1)变成(a,a), (1,-1)变成(b,-b) 08/21 21:49
38F：→ mantour : 代进去化简一下就会得到 x'^2-y'^2 = ab(x^2-y^2) 08/21 21:50
39F：→ mantour : 如果(1,1)变成(a,-a), (1,-1)变成(b,b) 08/21 21:50
40F：→ mantour : 应该也类似, 正负要小心处理一下 08/21 21:54
41F：→ musicbox810 : ab会刚好就是det(A)吗?还有(+-a,+-a),(+-b,+-b)有16 08/21 22:22
42F：→ musicbox810 : 种组合 08/21 22:22
43F：→ musicbox810 : (1,1)变成(a,-a), (1,-1)变成(b,b)有假设a,b都>0吗? 08/21 22:23
44F：→ mantour : 找了一下资料 似乎如果A可以从I经由连续无限小的 08/21 22:25
45F：→ mantour : 的变换达成, 那A就会符合我想要的条件 08/21 22:26
46F：→ mantour : |ab|=|det(A)| , 正负我不是很有把握 08/21 22:30
47F：→ mantour : 我以为(1,1) (1,-1)就是A的eigenvector 08/21 22:32
48F：→ mantour : 如果是的话det(A) = eigenvalue的乘积 08/21 22:33
49F：→ musicbox810 : 谢谢m大，原来如此 08/21 22:40
50F：推 topstr : 见Friedberg,Insel,Spence:线代 4e 6.9节 p457 08/23 20:55
51F：→ topstr : L_A是Minkowski metric , 08/23 20:56
52F：→ topstr : eq(18) 把(1,v)→(t',0),再把(1,0)→(t'',-vt'') 08/23 20:56
53F：→ topstr : 数学的书用偏有物理意义的方法解 08/23 20:57
54F：→ topstr : 应该不用假设null-like t^2-x^2=0, 08/23 21:00
55F：→ topstr : t^2-x^2 >0 time-like 也可以 08/23 21:01
56F：→ topstr : 只需t^2-x^2是 Lorentz invariant 08/23 21:02
57F：→ mantour : 我其实想知道的是能不能不需要假设t^2-x^2是 08/23 21:12
58F：→ mantour : invariant, 而是从t^2-x^2=0这个等式不变 08/23 21:13
59F：→ mantour : 导出t^2-x^2是invariant这件事 08/23 21:13
60F：→ mantour : 谢谢t大我再去找书来看 08/23 21:14
61F：→ mantour : 因为有些书都直接写光速恒定所以(ct)^2-x^2是不变量 08/23 21:16
62F：→ mantour : 但是光速恒定应该只有保证 (ct)^2-x^2=0 时不变 08/23 21:17
63F：→ musicbox810 : 爱因斯坦推导时应该也只有用上光速恒定的假设 08/24 08:07
64F：推 Bugquan : 其实大部分的物理书，写Lorentz transformation都 08/24 14:53
65F：→ Bugquan : 写得不清不楚 08/24 14:53
66F：推 topstr : 另S.Weinberg:quantum theory of fields 1,2.3节 08/24 17:05
67F：推 topstr : 他有算|detA|^2=1,|A_tt| >或= 1 08/24 17:09
68F：推 topstr : (A_tt即是Lorentz factor γ) 08/24 17:10
69F：→ topstr : p69有推出Lorentz boost,but他推导很复杂,难懂 08/24 17:11
70F：→ topstr : Bondi:relativity & common sense有他自己独特算法 08/24 17:11
71F：→ topstr : D'Inverno:introducting Einstein's relativity把 08/24 17:12
72F：→ topstr : k-ccalculus. 08/24 17:12
73F：推 Bugquan : 你要数学一点就参考这个吧，Leblond, Possible Kin 08/24 17:18
74F：→ Bugquan : ematics, 1968.四维时空然後满足一些物理需求的， 08/24 17:18
75F：→ Bugquan : 最终还有11种变换，然後还要再进一步要求才是Poinc 08/24 17:18
76F：→ Bugquan : aré group 08/24 17:18
77F：推 topstr : 那本线代是require 内积space,跟你条件好像不太一样 08/24 17:20
78F：→ topstr : 17:12 把它称为k-calculus 08/24 17:22
79F：推 topstr : 21:16应该是(dt)^2-(dx)^2 is Lorentz inv. 08/24 17:29
80F：→ topstr : for light, 上式=0,(dx/dt)^2=1=c 08/24 17:30
81F：→ topstr : =1=c平方啦 08/24 17:31
82F：推 topstr : (dt)^2-(dx)^2 is Lorentz inv.应该是狭义相对性原 08/26 00:27
83F：→ topstr : 理来的 08/26 00:30
84F：推 topstr : 时空距离等纯量在劳仑兹变换下保持不变 08/26 00:56
86F：推 topstr : Riemannian geometry (ds)^2是diffeomorphism inv. 08/26 07:13
87F：→ topstr : locally like n. 相对论(ds)^2 u,3是diffeomorphism 08/26 07:14
88F：推 topstr : 在相对论,(ds)^2 是diffeomorphism inv. of the 08/26 07:17
89F：→ topstr : 局部长得像R^1,3 08/26 07:18
90F：→ mantour : 我的问题应该比较接近是R^1,3是否真的是符合光速恒 08/26 09:12
91F：→ mantour : 定条件，和相对性原理的唯一可能。或是其实时空是R 08/26 09:12
92F：→ mantour : ^1,3应该是狭义相对论的一个公设。 08/26 09:12
93F：推 topstr : ds^2是diffeo.inv. of pseudo-Riemannian geo. 08/26 12:10
94F：→ topstr : term .ptt.cc真难用, 记忆体不够 懒得用pcman 08/26 12:11
95F：→ topstr : 应该是内定了,狭义相对论指定了Minkowski spacetime 08/26 12:14
96F：→ topstr : 可能也可考虑dS,AdS 等空间的不变量,那可能如B大所 08/26 12:16
97F：→ topstr : 言的不同群。c=1,就ds^2=0,light-like 这是定义吧 08/26 12:18
98F：→ topstr : c不变量啦 我听说光速不变是物理定律在惯性座标系 08/26 12:19
99F：→ topstr : 有相同型式,即要用张量表式,的特例,Einstein特别把 08/26 12:21
100F：→ topstr : 光速不变抓出来 因为很重要的关系. 08/26 12:21
101F：推 topstr : 黎曼几何ds^2已经假定是座标变换不变量不是吗 08/26 12:26
102F：推 topstr : 我好像说错.应该是附加结构y 08/26 14:32
103F：→ topstr : left-invariant metrics on Lie groups 08/26 14:32
104F：→ mantour : 光速恒定是实验结果，惯性座标未必要是黎曼空间， 08/27 00:04
105F：→ mantour : 如果必须以黎曼几何为前提，那就是额外的公设了 08/27 00:04
106F：→ mantour : 牛顿力学在伽利略变换下也满足“惯性座标，物理定 08/27 00:07
107F：→ mantour : 律不变” 08/27 00:07
108F：→ mantour : 所以相对性原理本身并没有限定是在哪一种变换下物 08/27 00:08
109F：→ mantour : 理定律有不变性。 08/27 00:08
110F：→ mantour : 数学上直接从Minkoski spacetime出发，不会有任何 08/27 00:15
111F：→ mantour : 问题。但是应该有一个合理的论证“为什麽要是Minko 08/27 00:15
112F：→ mantour : wski spacetime"，而这样的论证是否是数学上的有效 08/27 00:15
113F：→ mantour : 论证，还是物理学家偷渡了一些隐藏的假设，有没有 08/27 00:15
114F：→ mantour : 一套物理公设可以导出狭义相对论空间必须是Minkows 08/27 00:15
115F：→ mantour : ki soacetime? 08/27 00:15
116F：→ mantour : 不过好像离原本问题很远了，这应该超出我的程度， 08/27 00:17
117F：→ mantour : 感谢大大的分享。 08/27 00:17
118F：推 topstr : 光速在惯性座标变换下当然是是实验结果,Michaelson- 08/27 16:25
119F：→ topstr : Morley干涉仪实验.但Einstein把它提升到公设,而其他 08/27 16:28
120F：→ topstr : 物理学家如Poincare,Lorentz却没有这样做,导致狭义 08/27 16:30
121F：→ topstr : 相对论的发明者归於Einstein.黎曼几何当然是弯曲空 08/27 16:31
122F：→ topstr : 间.Minkowski spacetime才是平坦的.几何学要先给定 08/27 16:33
123F：→ topstr : 曲面方程式或度规吧.相对论性原理有2种,狭义的是要 08/27 16:37
124F：→ topstr : 求惯性座标变换,广义的是任意座标变换diffeomorphis 08/27 16:38
125F：→ topstr : m.你当然可以做其他空间的相对论,如AdS、dS、confor 08/27 16:41
126F：→ topstr : mal、sphere、torus、hyperelliptic curve、Calabi- 08/27 16:46
127F：→ topstr : Yau、Jackiw-Teitelboim、Chern-Simons gravity 等 08/27 16:49
128F：推 topstr : signiture是(-+++)又平坦的、open应该只有Minkowski 08/27 16:53
129F：→ topstr : 我前面说过光速不变公设是狭义相对论性原理的特例 08/27 16:55
130F：→ topstr : 即光速不变是一种物理定律.感觉怪怪的,又是公设又是 08/27 16:57
131F：→ topstr : 定律. 08/27 16:57
132F：→ topstr : 光速在任意惯性座标变换下不变,光速是constant 08/27 16:59
133F：→ topstr : 光速是constant 4-velocity 08/27 17:00
134F：推 topstr : Poincare,Lorentz应该是要求光需要介质来传递 以太 08/27 17:07
135F：→ topstr : Einstein是丢掉以太,并提出2个公设而被公认为狭义相 08/27 17:08
136F：→ topstr : 对论的发明者。 08/27 17:09
137F：→ mantour : 谢谢t大详细的说明 08/27 22:51