作者saltlake (SaltLake)
看板Math
標題[機統] 多事件交集和聯集之機率與上下界
時間Sat Aug 17 11:26:52 2024
請問如何表達多事件交集和聯集的機率和上下界?
給定事件 A(i), i = 1 to n
兩事件聯集的機率:
P( A(1) U A(2) )= P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2))
但是多事件的情況呢?
P( U A(i), i = 1 to n) = ?
如果是上述機率的上界或者下界呢?
ooo <= P( ^A(i), i = 1 to n) <= xxx
倘若是交集的狀況呢?
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1F：推 arrenwu : P( U A(i), i = 1 to n) 常用的上界 Sum_i P(A(i)) 08/17 11:39
2F：→ arrenwu : 常用的下界我想得到的有 max_i P(A(i)) 08/17 11:39
感謝 :)
上面是聯集的，交集的有嗎?
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/17/2024 13:18:23
3F：→ mantour : 聯集不就是排容 08/17 14:07
4F：推 mantour : ^機率 08/17 14:09
5F：推 LPH66 : 由 DeMorgan 交集取補等於補的聯集, 然後代一樓 08/17 14:13
6F：推 arrenwu : 交集的話，通常上界用的是 min_i P(A(i)) 08/17 15:02
7F：→ arrenwu : 而交集不太會有下界 08/17 15:03
8F：推 kh749 : 有種包法隆尼聯合信賴區間法的感覺 08/17 20:10
9F：推 kh749 : 搜搜看Bonferroni inequality是不是你要的 08/17 20:15
交集如果都是獨立事件的話，總機率是連乘積。
但是一般狀況呢?
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/18/2024 01:09:09
10F：→ yhliu : Bonferroni 不等式是說: 多事件聯集之機率,不大於各 08/19 09:15
11F：→ yhliu : 事件機率的和. 另: 多事件交集的機率,最小是0,最大 08/19 09:16
12F：→ yhliu : 是各單一事件機率的最小值,這是很明顯,並且除非有像 08/19 09:18
13F：→ yhliu : 相互獨立的附加條件否則無法改進的. 08/19 09:19
14F：→ yhliu : 再者,多事件聯集的正確機率,可以用 "取捨原理" 計算 08/19 09:20
15F：→ yhliu : P{聯集Ai) = sum P{Ai} - sum P{Ai交集Aj} +- ... 08/19 09:22
16F：→ yhliu : 後面 "+-..." 是 + 所有3事件交集機率和 - 4事件... 08/19 09:24
17F：→ mantour : y大，若兩事件AB交集的機率下界可以改進到 max(0 , 08/19 13:03
18F：→ mantour : P(A)+P(B) - 1)，不知道多事件的時候有沒有辦法寫 08/19 13:04
19F：→ mantour : 成類似的。 08/19 13:04
聯集的情況︰
P( A(1) U A(2) ) = P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2))
P(A(1) ^ A(2)) >=0 =>
P( A(1) U A(2) ) <= P(A(1))+P(A(2)) 等號於兩事件交集為空集合成立
有上界
交集的情況︰
P( A(1) U A(2) ) = 1-P( comp( A(1) U A(2) ) )
= 1-P( comp(A(1) ^ comp(A(2) )
=> P( comp(A(1) ^ comp(A(2) ) = 1-P( A(1) U A(2) )
>= 1-( P(A(1))+P(A(2)) )
有下界
另外我們知道，獨立事件之聯集的機率是個事件機率的聯乘積。
所以:
P(comp(A(1)))*P(comp(A(2))) >= 1-( P(A(1))+P(A(2)) )
但是獨立事件屬特殊情況，一般情況呢?
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 18:27:24
是否存在下面這個不等式?
P( A(1) ^ A(2) ) <= P(A(1))*P(A(2))
等號在事件是彼此獨立的時候成立，而當事件彼此相依的時候是小於之關係。
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 23:17:19
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 23:18:30
20F：推 LPH66 : 獨立並不取極值, 相對來說反而比較像是「中間狀況」 08/20 06:35
21F：→ LPH66 : 很上面都提過了, 交集最小 0 最大是所有機率中最小 08/20 06:35
22F：→ LPH66 : 而獨立的相乘結果顯然小於所有個別機率 08/20 06:36
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
請問這點怎麼證明?
哎呀! 忘了這邊是機率! 機率值都小於等於一且大於等於零。
所以機率連乘必然不會變大而可能越來越小，
而機率聯加不會變小而可能越加越大。
題外話，倘非機率而是不小於一的正數之聯乘與聯加呢?
23F：→ LPH66 : 你下面提的下界照樣推算其實可以寫成 08/20 06:40
24F：→ LPH66 : (ΣP(A(i)))-(n-1), 如果要考慮到自然下界 0 08/20 06:41
25F：→ LPH66 : 那可以加個 max(..., 0) 就好 08/20 06:41
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/20/2024 08:54:46
※ 編輯: saltlake (220.136.207.41 臺灣), 08/21/2024 06:08:58