作者saltlake (SaltLake)
看板Math
标题[机统] 多事件交集和联集之机率与上下界
时间Sat Aug 17 11:26:52 2024
请问如何表达多事件交集和联集的机率和上下界?
给定事件 A(i), i = 1 to n
两事件联集的机率:
P( A(1) U A(2) )= P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2))
但是多事件的情况呢?
P( U A(i), i = 1 to n) = ?
如果是上述机率的上界或者下界呢?
ooo <= P( ^A(i), i = 1 to n) <= xxx
倘若是交集的状况呢?
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1F：推 arrenwu : P( U A(i), i = 1 to n) 常用的上界 Sum_i P(A(i)) 08/17 11:39
2F：→ arrenwu : 常用的下界我想得到的有 max_i P(A(i)) 08/17 11:39
感谢 :)
上面是联集的，交集的有吗?
※ 编辑: saltlake (114.36.194.30 台湾), 08/17/2024 13:18:23
3F：→ mantour : 联集不就是排容 08/17 14:07
4F：推 mantour : ^机率 08/17 14:09
5F：推 LPH66 : 由 DeMorgan 交集取补等於补的联集, 然後代一楼 08/17 14:13
6F：推 arrenwu : 交集的话，通常上界用的是 min_i P(A(i)) 08/17 15:02
7F：→ arrenwu : 而交集不太会有下界 08/17 15:03
8F：推 kh749 : 有种包法隆尼联合信赖区间法的感觉 08/17 20:10
9F：推 kh749 : 搜搜看Bonferroni inequality是不是你要的 08/17 20:15
交集如果都是独立事件的话，总机率是连乘积。
但是一般状况呢?
※ 编辑: saltlake (114.36.194.30 台湾), 08/18/2024 01:09:09
10F：→ yhliu : Bonferroni 不等式是说: 多事件联集之机率,不大於各 08/19 09:15
11F：→ yhliu : 事件机率的和. 另: 多事件交集的机率,最小是0,最大 08/19 09:16
12F：→ yhliu : 是各单一事件机率的最小值,这是很明显,并且除非有像 08/19 09:18
13F：→ yhliu : 相互独立的附加条件否则无法改进的. 08/19 09:19
14F：→ yhliu : 再者,多事件联集的正确机率,可以用 "取舍原理" 计算 08/19 09:20
15F：→ yhliu : P{联集Ai) = sum P{Ai} - sum P{Ai交集Aj} +- ... 08/19 09:22
16F：→ yhliu : 後面 "+-..." 是 + 所有3事件交集机率和 - 4事件... 08/19 09:24
17F：→ mantour : y大，若两事件AB交集的机率下界可以改进到 max(0 , 08/19 13:03
18F：→ mantour : P(A)+P(B) - 1)，不知道多事件的时候有没有办法写 08/19 13:04
19F：→ mantour : 成类似的。 08/19 13:04
联集的情况︰
P( A(1) U A(2) ) = P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2))
P(A(1) ^ A(2)) >=0 =>
P( A(1) U A(2) ) <= P(A(1))+P(A(2)) 等号於两事件交集为空集合成立
有上界
交集的情况︰
P( A(1) U A(2) ) = 1-P( comp( A(1) U A(2) ) )
= 1-P( comp(A(1) ^ comp(A(2) )
=> P( comp(A(1) ^ comp(A(2) ) = 1-P( A(1) U A(2) )
>= 1-( P(A(1))+P(A(2)) )
有下界
另外我们知道，独立事件之联集的机率是个事件机率的联乘积。
所以:
P(comp(A(1)))*P(comp(A(2))) >= 1-( P(A(1))+P(A(2)) )
但是独立事件属特殊情况，一般情况呢?
※ 编辑: saltlake (114.36.194.30 台湾), 08/19/2024 18:27:24
是否存在下面这个不等式?
P( A(1) ^ A(2) ) <= P(A(1))*P(A(2))
等号在事件是彼此独立的时候成立，而当事件彼此相依的时候是小於之关系。
※ 编辑: saltlake (114.36.194.30 台湾), 08/19/2024 23:17:19
※ 编辑: saltlake (114.36.194.30 台湾), 08/19/2024 23:18:30
20F：推 LPH66 : 独立并不取极值, 相对来说反而比较像是「中间状况」 08/20 06:35
21F：→ LPH66 : 很上面都提过了, 交集最小 0 最大是所有机率中最小 08/20 06:35
22F：→ LPH66 : 而独立的相乘结果显然小於所有个别机率 08/20 06:36
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
请问这点怎麽证明?
哎呀! 忘了这边是机率! 机率值都小於等於一且大於等於零。
所以机率连乘必然不会变大而可能越来越小，
而机率联加不会变小而可能越加越大。
题外话，倘非机率而是不小於一的正数之联乘与联加呢?
23F：→ LPH66 : 你下面提的下界照样推算其实可以写成 08/20 06:40
24F：→ LPH66 : (ΣP(A(i)))-(n-1), 如果要考虑到自然下界 0 08/20 06:41
25F：→ LPH66 : 那可以加个 max(..., 0) 就好 08/20 06:41
※ 编辑: saltlake (114.36.194.30 台湾), 08/20/2024 08:54:46
※ 编辑: saltlake (220.136.207.41 台湾), 08/21/2024 06:08:58