作者a4695200 (姿)
看板Math
標題[機統] 期望值
時間Sun Aug 11 07:35:25 2024
已知r.v.X恆正，n為N，試証：
(1) sqrt(E[x]) >= E[sqrt(X)]
(2) E[ X^(-n) ] >= E[X]^(-n)
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1F：推 arrenwu : 確認一下，不能使用"If f is concave, then f(E[X]) 08/11 08:23
2F：→ arrenwu : >= E[f(X)]" 這個性質嗎？ 08/11 08:24
不行ㄟ
※ 編輯: a4695200 (36.227.135.41 臺灣), 08/11/2024 09:52:39
3F：推 arrenwu : 不能引用 Jensen's Inequality 的話，這問題會變成 08/11 10:02
4F：→ arrenwu : 碰觸滿底層的分析問題喔？ 08/11 10:02
所以才上來問
5F：推 cuylerLin : 那就重頭證一次 Jensen 不就好了XD 08/11 12:09
※ 編輯: a4695200 (36.227.135.41 臺灣), 08/11/2024 13:32:32
6F：推 arrenwu : ok 那就是：你看Jensen's Inequality 怎麼被證明的 08/11 14:59
7F：→ arrenwu : 然後證明Jensen's Inequality 08/11 14:59
8F：推 Vulpix : 這邊就Hoelder's inequality吧。第一個甚至只是很 08/11 17:11
9F：→ Vulpix : 簡單的柯西。 08/11 17:11
10F：→ Vulpix : 第一題，左右式的平方差=Var(sqrt(X))。 08/11 17:13
11F：→ yhliu : 第一個不等式, 用 E[X^2] > (E[X])^2 08/12 08:49
12F：→ yhliu : 第二題,若 n 為正整數, n > 1 時, 將 X^n-a^n 分解 08/12 09:14
13F：→ yhliu : 成 (X-a) sum_{k=0~n-1} X^k a^(n-1-k) = (X-a)g(X) 08/12 09:15
14F：→ yhliu : X > a 時 g(x) > g(a); X < a 時 g(X) < g(a) 08/12 09:16
15F：→ yhliu : 故 X^n - a^n >= (X-a)g(a) = na^(n-1)(X-a) 08/12 09:17
16F：→ yhliu : 取 a = E[X] 08/12 09:17
17F：→ yhliu : 事實上, n 為正實數, n>1, f(x) = x^n >=(x-a)f'(a) 08/12 09:22
18F：→ yhliu : 更一般就是 f 為 convex 的情形, 即 Jensen's ineq. 08/12 09:23
19F：推 cuylerLin : 突然在想第二題好像也可以用第一題的結果，兩邊平方 08/12 17:23
20F：→ cuylerLin : ，取倒數，這樣就是針對所有偶數成立了 08/12 17:23