作者a4695200 (姿)
看板Math
标题[机统] 期望值
时间Sun Aug 11 07:35:25 2024
已知r.v.X恒正，n为N，试证：
(1) sqrt(E[x]) >= E[sqrt(X)]
(2) E[ X^(-n) ] >= E[X]^(-n)
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1F：推 arrenwu : 确认一下，不能使用"If f is concave, then f(E[X]) 08/11 08:23
2F：→ arrenwu : >= E[f(X)]" 这个性质吗？ 08/11 08:24
不行ㄟ
※ 编辑: a4695200 (36.227.135.41 台湾), 08/11/2024 09:52:39
3F：推 arrenwu : 不能引用 Jensen's Inequality 的话，这问题会变成 08/11 10:02
4F：→ arrenwu : 碰触满底层的分析问题喔？ 08/11 10:02
所以才上来问
5F：推 cuylerLin : 那就重头证一次 Jensen 不就好了XD 08/11 12:09
※ 编辑: a4695200 (36.227.135.41 台湾), 08/11/2024 13:32:32
6F：推 arrenwu : ok 那就是：你看Jensen's Inequality 怎麽被证明的 08/11 14:59
7F：→ arrenwu : 然後证明Jensen's Inequality 08/11 14:59
8F：推 Vulpix : 这边就Hoelder's inequality吧。第一个甚至只是很 08/11 17:11
9F：→ Vulpix : 简单的柯西。 08/11 17:11
10F：→ Vulpix : 第一题，左右式的平方差=Var(sqrt(X))。 08/11 17:13
11F：→ yhliu : 第一个不等式, 用 E[X^2] > (E[X])^2 08/12 08:49
12F：→ yhliu : 第二题,若 n 为正整数, n > 1 时, 将 X^n-a^n 分解 08/12 09:14
13F：→ yhliu : 成 (X-a) sum_{k=0~n-1} X^k a^(n-1-k) = (X-a)g(X) 08/12 09:15
14F：→ yhliu : X > a 时 g(x) > g(a); X < a 时 g(X) < g(a) 08/12 09:16
15F：→ yhliu : 故 X^n - a^n >= (X-a)g(a) = na^(n-1)(X-a) 08/12 09:17
16F：→ yhliu : 取 a = E[X] 08/12 09:17
17F：→ yhliu : 事实上, n 为正实数, n>1, f(x) = x^n >=(x-a)f'(a) 08/12 09:22
18F：→ yhliu : 更一般就是 f 为 convex 的情形, 即 Jensen's ineq. 08/12 09:23
19F：推 cuylerLin : 突然在想第二题好像也可以用第一题的结果，两边平方 08/12 17:23
20F：→ cuylerLin : ，取倒数，这样就是针对所有偶数成立了 08/12 17:23