※ 引述《cuteSquirrel (可愛的小松鼠)》之銘言： : 標題: Re: [中學] 台中一中段考題--二項式定理 : 時間: Wed Aug 7 00:35:53 2024 : : [ √2 + √3 ]^6 = [ √3 + √2 ]^6 : : 對調次序 方便後面製造對稱的 √3 - √2 方便計算 和 估計整數 : 根據指數律 : : : 所求 + 對稱形式的六次方 = 2 * 5^3 + 6 * 5 * 4 * 6 = 970 : : 所求 + 已知0 ~ 1之間的小數 = 970 : : 所求 = 969 + 小數部分 : : 也可以說 969 < 所求 < 970 : : → cuteSquirrel: 不過如果是更高的n次方 目前沒想到啥好的近似法 XD 08/07 16:39 : 推 choun : 感謝可愛松鼠！！！太強了~~~ 謝謝~~~！！！ 08/07 16:50 有的 實際上就是用你的那個做法，只是寫得比較廣泛一點 0 < √3 - √2 < 1 已經在松鼠的文章裡面寫過 令 A_{n} = (√3 + √2)^n + (√3 - √2)^n for n >= 0 定理一： A_0 = 2, A_1 = 2√3, A_2 = 10 (顯而易見) 定義 B_{n} = A_{2n} = (5+2√6)^n + (5-2√6)^n for n >=0 5-2√6 = (√3 - √2)^2 所以也介於於 0 和 1 之間 定理二：B_0 = 2, B_1 = A_2 = 10 (顯而易見) 定理三：B_{n+2} = 10B_{n+1} - B_{n} (自己導一下) 所以在原問題裡面 A_6 = B_3 = 10B_2 - B_1 = 10(10B_1-B_0) - B_1 = 10*(100-2) - 10 = 970 也就是說 A_6 = (√3 + √2)^6 + (√3 - √2)^6 = 970 而 0 < (√3 - √2) < 1 所以 (√3 + √2)^6 整數部分是 969 這個做法呢，n 可以依樣畫葫蘆推到更高的次數，反正就是一個遞迴數列 附錄 定理四： A_{n} 只有 n 是偶數的時候才是整數 可以先證明 (1) A_{n} 在 n 是偶數的時候是整數 (2) 接著用恆等式 A_{n+2} = 2√3A_{n+1} - A_{n} 證明當 n 為奇數時候 A_n 非整數 -- 創作角卷綿芽時要特別注意的地方 https://i.imgur.com/OS930VU.jpg https://i.imgur.com/HlLGgYB.jpg by ふーみ (綿芽的繪師媽媽) --

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