※ 引述《cuteSquirrel (可爱的小松鼠)》之铭言： : 标题: Re: [中学] 台中一中段考题--二项式定理 : 时间: Wed Aug 7 00:35:53 2024 : : [ √2 + √3 ]^6 = [ √3 + √2 ]^6 : : 对调次序 方便後面制造对称的 √3 - √2 方便计算 和 估计整数 : 根据指数律 : : : 所求 + 对称形式的六次方 = 2 * 5^3 + 6 * 5 * 4 * 6 = 970 : : 所求 + 已知0 ~ 1之间的小数 = 970 : : 所求 = 969 + 小数部分 : : 也可以说 969 < 所求 < 970 : : → cuteSquirrel: 不过如果是更高的n次方 目前没想到啥好的近似法 XD 08/07 16:39 : 推 choun : 感谢可爱松鼠！！！太强了~~~ 谢谢~~~！！！ 08/07 16:50 有的 实际上就是用你的那个做法，只是写得比较广泛一点 0 < √3 - √2 < 1 已经在松鼠的文章里面写过 令 A_{n} = (√3 + √2)^n + (√3 - √2)^n for n >= 0 定理一： A_0 = 2, A_1 = 2√3, A_2 = 10 (显而易见) 定义 B_{n} = A_{2n} = (5+2√6)^n + (5-2√6)^n for n >=0 5-2√6 = (√3 - √2)^2 所以也介於於 0 和 1 之间 定理二：B_0 = 2, B_1 = A_2 = 10 (显而易见) 定理三：B_{n+2} = 10B_{n+1} - B_{n} (自己导一下) 所以在原问题里面 A_6 = B_3 = 10B_2 - B_1 = 10(10B_1-B_0) - B_1 = 10*(100-2) - 10 = 970 也就是说 A_6 = (√3 + √2)^6 + (√3 - √2)^6 = 970 而 0 < (√3 - √2) < 1 所以 (√3 + √2)^6 整数部分是 969 这个做法呢，n 可以依样画葫芦推到更高的次数，反正就是一个递回数列 附录 定理四： A_{n} 只有 n 是偶数的时候才是整数 可以先证明 (1) A_{n} 在 n 是偶数的时候是整数 (2) 接着用恒等式 A_{n+2} = 2√3A_{n+1} - A_{n} 证明当 n 为奇数时候 A_n 非整数 -- 创作角卷绵芽时要特别注意的地方 https://i.imgur.com/OS930VU.jpg https://i.imgur.com/HlLGgYB.jpg by ふーみ (绵芽的绘师妈妈) --

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