陶哲軒趙宇飛學生聯手攻下組合數學難題，23年來首度突破 https://www.qbitai.com/2024/08/175469.html 魚羊 還是個「意外」收穫（doge） 陶哲軒和趙宇飛的學生聯手，給數學界整了個新驚喜： 讓組合數學領域最大難題之一——從無序中證明有序，並取得了23年來的重大突破。 這個問題有多難？ 用知名華裔數學家、MIT副教授趙宇飛本人的話來說，是「我不會建議任何學生去做這個 課題」。 https://reurl.cc/93Z9xa 有趣的是，這甚至還是個「意外」收穫： 陶哲軒弟子、剛升研究生二年級的James Leng（以下簡稱小冷）原本試圖延續另一位菲爾 茲獎得主－提摩西‧高爾斯的理論研究。 但搞了一年多，他幾乎是「一無所獲」。 就在一籌莫展之時，他遇上了趙宇飛的兩位天才學生——本科期間就聯手發了十幾篇論文 的Ashwin Sah（以下簡稱小薩）和Mehtaab Sawhney（以下簡稱索哥）。 三人一碰頭，頓時靈光乍現：小冷這研究思路用到塞邁雷迪定理上，那說不定真能整出點 新進展。 幾個月後，都還在攻讀博士學位的三個年輕人真的做到了—— 23年首次突破組合數學難題 小冷、小薩和索哥的這項研究，是組合數學領域的一大難題，是對塞邁雷迪定理的進一步 研究。 塞邁雷迪定理由2012年阿貝爾獎得主、匈牙利數學家塞邁雷迪·安德烈（Szemerédi Endre，註：匈牙利人的習慣是姓前名後）於1975年證明，其中說到： 若一個整數集A具有正的自然密度，則對任意的正整數k，都可以在A中找出一個包含k項的 等差數列。 所謂具有正自然密度，就是當n趨於無窮時，A與1,2,…,n這個數列的交集中元素個數與n 的比值大於0。 比較著名的反例就是2,4,8…這樣的等比數列，它們被認為在數軸上“過於稀疏”，不具 備正自然數密度。 https://reurl.cc/QE7oD2 這個理論的猜想由兩名匈牙利數學家埃爾德什·帕爾（Erd Pál）和圖蘭·帕爾（Tur án Pál）在1936年提出。 顯然對於k=1和2的情況，這個結論毫無疑問是成立的，k=3的情況則在1953年由英國數學 家克勞斯·羅特證明。 到了1969年，塞邁雷迪用組合數學方法證明了k=4的情況，直到最終證明結論對任意k均成 立。 後來，又有數學家利用遍歷理論、傅立葉分析等其他方法證明了這個結論。 這也讓陶哲軒為之感慨，也把該定理的眾多證明稱為“羅塞塔石碑”，因為它們連結了幾 個乍看起來完全不同的數學分支。 但總之，塞邁雷迪定理的證明並不是一個終點，而且還開啟了新的討論。 塞邁雷迪定理還有另一種表述形式— 若在正整數1-N中取子集，使得對於某一k值，在該子集中 找不到 長度為k的等差數列； 則當N趨近於無窮時，此子集的大小r_k(N)與N的比值趨近於0。 不過這個比值趨近於0的速度究竟是怎樣的，仍然是一個未知數，也就成了後續這幾十年 的研究課題。 前面提到，有人用傅立葉分析法給了塞邁雷迪定理的新證明，這個人就是1998年菲爾茲獎 得主、英國數學家提摩西‧高爾斯（Timothy Gowers）。 更重要的是，高爾斯同時給出了r_k(N)與N比值的上界，即該比值下降的速度不會慢於某 個特定的函數。 這個函數長這樣： https://reurl.cc/WNEoVZ 此後的20多年來，不斷有人針對特定k值，對r(N)的範圍給了更精確的上界。 例如在2017年，陶哲軒和英國數學家本·格林（Ben Green）一起給了k=4時的新上界。 然而，對k取任意值的情況一直未有新的進展，直到這次研究的出現。 2022年，正在加州大學洛杉磯分校（UCLA）攻讀研究所的小冷開始研究起了高爾斯的理論 。 不過他腦海裡的是高爾斯提出的幾個技術問題，並沒有想到塞邁雷迪定理。 一年很快過去，小冷沒有任何成果，但他的研究引起了小薩和索哥的注意。 他們意識到，小冷的研究可能有助於在塞邁雷迪定理上取得進一步進展。 於是三位年輕的數學家走到了一起，並在幾個月之內就想出了k=5時更精確的上界。 直到今年，三人又把這個結論推廣到了k為任意取值的情況，成為了23年以來在這個問題 上最重大的突破。 證明的核心在於應用了高爾斯U^(k+1)範數的逆定理，這是一個與傅立葉分析相關的高階 工具，它提供了一種衡量函數在某種意義上接近零的方法。 這個逆定理也是由三人發現的，用了足足100頁的論文來闡述。 其中指出，如果函數在範數意義上足夠大，那麼它必然與某些具有特定結構的序列相關聯 ，這些序列在數學上被稱為「結構性物件」。 利用這個逆定理，作者們將問題從原始的整數集合，轉移到了具有特定代數結構的 nilmanifolds流形上。 透過深入分析這些流形上的nil序列，作者們實現了這些序列在整數集合上變化的控制。 然後，他們透過對集合進行分解並運用密度增量策略，逐步增加不包含k項等差數列的子 集密度，直到達到某一閾值或無法繼續增加。 經過迭代這個過程，作者們證明了存在一個足夠大的子集，其密度遠高於先前的結果，實 現了k=5時結論向著更高k值的推廣。 陶哲軒趙宇飛的天才學生們 三位作者中，小冷（James Leng）目前就讀於加州大學洛杉磯分校（UCLA），師承菲爾茲 獎得主陶哲軒。 他的主要研究方向是算術組合學、動力系統和傅立葉分析。 而小薩（Ashwin Sah）和索哥（Mehtaab Sawhney）都是MIT副教授趙宇飛的學生。 小薩其人，不可謂不是「天才少年」。 他是2016年國際奧林匹克數學競賽（IMO）金牌得主，2018年也曾獲得首屆阿里巴巴全球 數學競賽銀牌。 剛上大一，小薩就跑去聽了趙宇飛研究生程度的組合數學課。 這迅速引起了趙宇飛的注 意： 儘管他只是大一的學生，但很顯然，他已經掌握了這門課。 就在本科期間，小薩已經有20多篇數學論文在手——而且他只用了 兩年半 時間就從MIT 本科畢業了。 其中，還包括在 拉姆齊數 方面的重大突破：給出了拉姆齊數的新上限，被認為是「使用 現有研究線索可以獲得的最佳結果」。 索哥（Mehtaab Sawhney）比小薩高一年級，他同樣在本科期間就參與了趙宇飛的組合數 學課程。 打從本科起，索哥和小薩就是彼此的科研搭子，關係密切到索哥主頁列出的70篇論文裡， 有60篇都帶小薩的名字。 而導師趙宇飛在本科時對他倆的評價就是： （MIT）的本科生研究有著悠久的歷史和傳統，但在論文的品質和數量上，都達不到 Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。 目前，索哥已經率先博士畢業，獲得了哥倫比亞大學的教職，並在今年年初被任命為克萊 研究員。 兩位老友的合作仍在繼續，也令外界感到期待。 他們的導師趙宇飛是這樣說的： 他們的非凡之處在於總是能理解極具技術挑戰的事物並加以改進。 很難用語言概括他們的整體成就。 參考連結： [1]https://arxiv.org/abs/2402.17995 [2]https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/ [3]https://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di%27s_theorem --

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