陶哲轩赵宇飞学生联手攻下组合数学难题，23年来首度突破 https://www.qbitai.com/2024/08/175469.html 鱼羊 还是个「意外」收获（doge） 陶哲轩和赵宇飞的学生联手，给数学界整了个新惊喜： 让组合数学领域最大难题之一——从无序中证明有序，并取得了23年来的重大突破。 这个问题有多难？ 用知名华裔数学家、MIT副教授赵宇飞本人的话来说，是「我不会建议任何学生去做这个 课题」。 https://reurl.cc/93Z9xa 有趣的是，这甚至还是个「意外」收获： 陶哲轩弟子、刚升研究生二年级的James Leng（以下简称小冷）原本试图延续另一位菲尔 兹奖得主－提摩西‧高尔斯的理论研究。 但搞了一年多，他几乎是「一无所获」。 就在一筹莫展之时，他遇上了赵宇飞的两位天才学生——本科期间就联手发了十几篇论文 的Ashwin Sah（以下简称小萨）和Mehtaab Sawhney（以下简称索哥）。 三人一碰头，顿时灵光乍现：小冷这研究思路用到塞迈雷迪定理上，那说不定真能整出点 新进展。 几个月後，都还在攻读博士学位的三个年轻人真的做到了—— 23年首次突破组合数学难题 小冷、小萨和索哥的这项研究，是组合数学领域的一大难题，是对塞迈雷迪定理的进一步 研究。 塞迈雷迪定理由2012年阿贝尔奖得主、匈牙利数学家塞迈雷迪·安德烈（Szemerédi Endre，注：匈牙利人的习惯是姓前名後）於1975年证明，其中说到： 若一个整数集A具有正的自然密度，则对任意的正整数k，都可以在A中找出一个包含k项的 等差数列。 所谓具有正自然密度，就是当n趋於无穷时，A与1,2,…,n这个数列的交集中元素个数与n 的比值大於0。 比较着名的反例就是2,4,8…这样的等比数列，它们被认为在数轴上“过於稀疏”，不具 备正自然数密度。 https://reurl.cc/QE7oD2 这个理论的猜想由两名匈牙利数学家埃尔德什·帕尔（Erd Pál）和图兰·帕尔（Tur án Pál）在1936年提出。 显然对於k=1和2的情况，这个结论毫无疑问是成立的，k=3的情况则在1953年由英国数学 家克劳斯·罗特证明。 到了1969年，塞迈雷迪用组合数学方法证明了k=4的情况，直到最终证明结论对任意k均成 立。 後来，又有数学家利用遍历理论、傅立叶分析等其他方法证明了这个结论。 这也让陶哲轩为之感慨，也把该定理的众多证明称为“罗塞塔石碑”，因为它们连结了几 个乍看起来完全不同的数学分支。 但总之，塞迈雷迪定理的证明并不是一个终点，而且还开启了新的讨论。 塞迈雷迪定理还有另一种表述形式— 若在正整数1-N中取子集，使得对於某一k值，在该子集中 找不到 长度为k的等差数列； 则当N趋近於无穷时，此子集的大小r_k(N)与N的比值趋近於0。 不过这个比值趋近於0的速度究竟是怎样的，仍然是一个未知数，也就成了後续这几十年 的研究课题。 前面提到，有人用傅立叶分析法给了塞迈雷迪定理的新证明，这个人就是1998年菲尔兹奖 得主、英国数学家提摩西‧高尔斯（Timothy Gowers）。 更重要的是，高尔斯同时给出了r_k(N)与N比值的上界，即该比值下降的速度不会慢於某 个特定的函数。 这个函数长这样： https://reurl.cc/WNEoVZ 此後的20多年来，不断有人针对特定k值，对r(N)的范围给了更精确的上界。 例如在2017年，陶哲轩和英国数学家本·格林（Ben Green）一起给了k=4时的新上界。 然而，对k取任意值的情况一直未有新的进展，直到这次研究的出现。 2022年，正在加州大学洛杉矶分校（UCLA）攻读研究所的小冷开始研究起了高尔斯的理论 。 不过他脑海里的是高尔斯提出的几个技术问题，并没有想到塞迈雷迪定理。 一年很快过去，小冷没有任何成果，但他的研究引起了小萨和索哥的注意。 他们意识到，小冷的研究可能有助於在塞迈雷迪定理上取得进一步进展。 於是三位年轻的数学家走到了一起，并在几个月之内就想出了k=5时更精确的上界。 直到今年，三人又把这个结论推广到了k为任意取值的情况，成为了23年以来在这个问题 上最重大的突破。 证明的核心在於应用了高尔斯U^(k+1)范数的逆定理，这是一个与傅立叶分析相关的高阶 工具，它提供了一种衡量函数在某种意义上接近零的方法。 这个逆定理也是由三人发现的，用了足足100页的论文来阐述。 其中指出，如果函数在范数意义上足够大，那麽它必然与某些具有特定结构的序列相关联 ，这些序列在数学上被称为「结构性物件」。 利用这个逆定理，作者们将问题从原始的整数集合，转移到了具有特定代数结构的 nilmanifolds流形上。 透过深入分析这些流形上的nil序列，作者们实现了这些序列在整数集合上变化的控制。 然後，他们透过对集合进行分解并运用密度增量策略，逐步增加不包含k项等差数列的子 集密度，直到达到某一阈值或无法继续增加。 经过迭代这个过程，作者们证明了存在一个足够大的子集，其密度远高於先前的结果，实 现了k=5时结论向着更高k值的推广。 陶哲轩赵宇飞的天才学生们 三位作者中，小冷（James Leng）目前就读於加州大学洛杉矶分校（UCLA），师承菲尔兹 奖得主陶哲轩。 他的主要研究方向是算术组合学、动力系统和傅立叶分析。 而小萨（Ashwin Sah）和索哥（Mehtaab Sawhney）都是MIT副教授赵宇飞的学生。 小萨其人，不可谓不是「天才少年」。 他是2016年国际奥林匹克数学竞赛（IMO）金牌得主，2018年也曾获得首届阿里巴巴全球 数学竞赛银牌。 刚上大一，小萨就跑去听了赵宇飞研究生程度的组合数学课。 这迅速引起了赵宇飞的注 意： 尽管他只是大一的学生，但很显然，他已经掌握了这门课。 就在本科期间，小萨已经有20多篇数学论文在手——而且他只用了 两年半 时间就从MIT 本科毕业了。 其中，还包括在 拉姆齐数 方面的重大突破：给出了拉姆齐数的新上限，被认为是「使用 现有研究线索可以获得的最佳结果」。 索哥（Mehtaab Sawhney）比小萨高一年级，他同样在本科期间就参与了赵宇飞的组合数 学课程。 打从本科起，索哥和小萨就是彼此的科研搭子，关系密切到索哥主页列出的70篇论文里， 有60篇都带小萨的名字。 而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价就是： （MIT）的本科生研究有着悠久的历史和传统，但在论文的品质和数量上，都达不到 Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。 目前，索哥已经率先博士毕业，获得了哥伦比亚大学的教职，并在今年年初被任命为克莱 研究员。 两位老友的合作仍在继续，也令外界感到期待。 他们的导师赵宇飞是这样说的： 他们的非凡之处在於总是能理解极具技术挑战的事物并加以改进。 很难用语言概括他们的整体成就。 参考连结： [1]https://arxiv.org/abs/2402.17995 [2]https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/ [3]https://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di%27s_theorem --

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