業餘數學家協助解答的難題︰怎樣用五邊形來密鋪平面？ https://www.thenewslens.com/article/73854 我們想讓你知道的是 如何用五邊形密鋪平面？數學家尋求答案的過程中，得力於業餘數學家的協助，發現多種 可以密鋪平面的五邊形。 密鋪平面的圖案往往引人入勝，有種從有限延伸至無限平面的錯覺。古希臘數學家早已知 道並證明，如果僅用一款正多邊形的話，就只有正三角形、正方形、正六邊形三種可以密 鋪平面。證明並不困難，只要利用多邊形內角和公式便行。 假如放寬要求，不再規定要是正多邊形（每條邊長度一樣及每隻角相等），而接受任何凸 多邊形（每一隻角均小於180°），事情就開始變得有趣︰凸七邊形仍然無法密鋪平面， 多於七條邊的凸多邊形也不行，但有些凸五邊形可以。（除非特別注明，否則下文中「多 邊形」均指凸多邊形。） 不過我們還是先由簡單的開始。所有三角形、四邊形都能夠密鋪平面︰任何三角形跟轉了 180°的自己合在一起，就會成為一個平行四邊形，而我們知道平行四邊形能夠密鋪平面 。 https://tinyurl.com/3w8abe7y 對於任何四邊形，由於其四隻角加起來會是360°，只要如下圖交錯排列就能夠密鋪平面 。 https://tinyurl.com/28b3fwx9 https://tinyurl.com/zc8bprwm 1918年Karl Reinhardt在他的博士論文中探討這個問題，並證明了可以密鋪平面的六邊形 雖然有無限多款，但都會屬於以下3類的其中之一，每一類都有若干角度及邊長上的限制 ，例如某些角加起來要等如360°、某些邊長度須相同等︰ https://tinyurl.com/yekxd88k 在他的論文中，Reinhardt亦發現了5類可密鋪平面的五邊形，以下是其中一類，可以拼成 正六邊形來密鋪平面︰ https://tinyurl.com/3yvm4y3u 不過跟六邊形的情況不同，他未能證明只有這5類五邊形可以密鋪平面。要到1967年這個 問題才有進展，當時在約翰·霍普金斯大學的基舒拿（Richard Brandon Kershner）發現 了另外3類可密鋪平面的五邊形，令總數增加至8類。 在介紹其發現的論文中，基舒拿宣稱所有可密鋪平面的五邊形都不出這8個類別，他又說 證明這個清單完整「非常費力」，將會在別處提出證明。然而他根本不可能證明到這一件 事，因為尚有其他在當時未被發現的五邊形，同樣可以密鋪平面。 作家葛登能（Martin Gardner）得悉基舒拿的發現後，在1975年在《科學美國人》（ Scientific American）雜誌的數學專欄上撰文介紹。大學讀哲學、未曾受過嚴格數學訓 練的葛登能，擅長深入淺出解說數學謎題，吸引萬千讀者，也燃點了不少人對數學的興趣 。而在密鋪平面的五邊形這個問題上，他更參與其中，推動數學發展。 文章刊出後，葛登能就收到電腦科學家Richard E. James III的一封信，附上另一類可以 密鋪平面的五邊形，以及這個問題︰「你是否同意基舒拿漏了這個？」在給基舒拿的一封 信中，葛登能以這個發現說明在數學界中，一個證明要得到專家共識接受才能算是證明。 https://tinyurl.com/5n7n4mpn Richard E. James III發現的五邊形排列。圖片來自Martin Gardner《Time travel and other mathematical bewilderments》一書，顏色經過修改以方便閱讀。 基舒拿回信時指，自己在舊文章曾提到「數學史上曾有一些被廣為接受的論證，最終被數 學家指出證明中的缺漏…而每年世界各地的數學期刊中，也有一定論文指出過往有人宣稱 已證明的陳述其實不正確」，只是在寫下有關段落時，不曾想過他本人終將成為其中一個 例子。 家庭主婦懷斯（Marjorie Rice）讀了葛登能的文章後，亦開始探索密鋪平面的世界，她 的家人不時見她坐在廚房秘密繪製圖案，她的女兒說︰「我那時候以為她只是在塗鴉。」 在高中只讀了一年數學的懷斯，最終發現了4類可以密鋪平面的五邊形，以及多種密鋪平 面的圖案。 在佛羅里達州出生的懷斯，在學期間曾跳兩級，跟較年長的同學一起學習。雖然她對於學 習很有興趣，但貧窮及文化規範令她的家庭未有考慮她可能讀大學。1945年懷斯結婚，其 後搬到華盛頓特區，懷斯那時候成為一位商業藝術家，直到兩人再搬到加州聖地牙哥市。 懷斯在一次訪問中提到，她認為如果能發現一些未有人見過的美麗圖案，會是非常美妙的 事情。她亦在文章中指自己著迷於這個題目，希望了解各類五邊形為何如此獨特，但由於 缺乏數學背景，她發展出一套自己的符號系統，並在數個月後發現新的可密鋪平面五邊形 。 https://tinyurl.com/532xp4bz 懷斯發現的其中兩款五邊形排列，以及她按此繪製的畫作。圖片由懷斯的女兒Kathy Rice 提供。 1976年2月，懷斯把她的第一個發現寄給葛登能，而葛登能則把她的發現轉寄給其他有興 趣的數學家，包括基舒拿和沙特施奈德（Doris Schattschneider），很快就確認這是新 的一類五邊形。基舒拿寫信問懷斯如何發現，並承認曾自己錯誤排除了這一類五邊形。 當沙特施奈德檢視懷斯的首個發現時，她認為這個「第9類」五邊形跟基舒拿發現的「第7 類」及「第8類」五邊形，可能同樣屬於另一個更大的家庭。於是沙特施奈德作出一項猜 想，並告知葛登能。不夠兩星期後，懷斯來信，指出她也曾作同樣猜想，並證明了這猜想 是錯的。 同一年，懷斯再發現了兩類五邊形，在1977年她又發現了一類，全部均前所未見。換言之 ，葛登能一篇文章換來5類可以密鋪平面的五邊形，令總數增至13類。 https://tinyurl.com/mr2apzkc 懷斯的筆記，圖片出自《The Mathematical Gardner》一書。 1985年，德國研究生Rolf Stein發現了第14類五邊形，此後30年問題一直未有進展。直到 2015年，華盛頓大學貝色分校的3位數學家Casey Mann、Jennifer McLoud及David Von Derau利用演算法發現了第15類五邊形，撇除放大縮小外，這類五邊形只得一款，五隻角 的角度比各邊長之間的比例均有規定。 https://tinyurl.com/59eswuc9 基舒拿的故事教訓我們，即使數十年未有發現新的五邊形，也不能輕言「就只有這些」— —除非有數學證明可以密鋪平面的五邊形只得15類。 法國CNRS的數學家拉奧（Michaël Rao）聽到數學界發現第15類五邊形後，決定徹底檢索 ，以完全為所有可密鋪平面的五邊形分類。今年5月，Rao把他的手稿放上網，宣稱已經徹 底解決了問題——答案只有15類，不多不少。 在其證明中，拉奧首先證明可以密鋪平面的凸五邊形種類有限，他利用一些簡單的幾何公 式去加入限制，例如五邊形的5隻角加起來必須是540°、每個頂點的角加起來必須是360 °（如果碰到其他五邊形的角）或180°（碰到其他五邊形的邊時）。加入這些限制後， 拉奧計算出371個可能，再以電腦驗證，發現全部可能情況都屬於已發現的15類五邊形之 中。 對於未能發現新的可密鋪平面五邊形，拉奧感到失望，但其他專家則表示，能夠證明只有 15類五邊形比起發現「新品種」更加重要，除了可以徹底解決這個問題外，更能用類似方 法挑戰相關難題。 證明克卜勒猜想的數學家Thomas Hales獨立驗證了拉奧證明中最重要的一半，顯示當中應 該沒有出錯，他對於拉奧的證明有信心。不過，這份手稿仍然未經同行審查，不能太快下 定論。假如拉奧的證明沒錯，懷斯就是自近百年前提出五邊形密鋪平面問題的Reinhardt 以外，發現最多五邊形類別的一人。晚年患上失智症的懷斯於今年7月2日與世長辭，終年 94歲，永遠無法得悉結果，不過她對攻克這個問題的貢獻將永不磨滅。 資料來源︰ Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem (Quanta Magazine) Marjorie Rice’s Secret Pentagons (Quanta Magazine) There Are Only 15 Pentagonal Tilings (Probably) (Forbes) Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile (The Guardian) On Paving the Plane by R. B. Kershner Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane by Michaël Rao Convex pentagons that admit i-block transitive tilings by Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann, David Von Derau Perplexing Pentagons by Doris Schattschneider “Tiling with Convex Polygons”, Martin Gardner, reprinted in Time travel and other mathematical bewilderments. "In Praise of Amateurs", by Doris Schattschneider, in Klarner, David A., The Mathematical Gardner. --

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