业余数学家协助解答的难题︰怎样用五边形来密铺平面？ https://www.thenewslens.com/article/73854 我们想让你知道的是 如何用五边形密铺平面？数学家寻求答案的过程中，得力於业余数学家的协助，发现多种 可以密铺平面的五边形。 密铺平面的图案往往引人入胜，有种从有限延伸至无限平面的错觉。古希腊数学家早已知 道并证明，如果仅用一款正多边形的话，就只有正三角形、正方形、正六边形三种可以密 铺平面。证明并不困难，只要利用多边形内角和公式便行。 假如放宽要求，不再规定要是正多边形（每条边长度一样及每只角相等），而接受任何凸 多边形（每一只角均小於180°），事情就开始变得有趣︰凸七边形仍然无法密铺平面， 多於七条边的凸多边形也不行，但有些凸五边形可以。（除非特别注明，否则下文中「多 边形」均指凸多边形。） 不过我们还是先由简单的开始。所有三角形、四边形都能够密铺平面︰任何三角形跟转了 180°的自己合在一起，就会成为一个平行四边形，而我们知道平行四边形能够密铺平面 。 https://tinyurl.com/3w8abe7y 对於任何四边形，由於其四只角加起来会是360°，只要如下图交错排列就能够密铺平面 。 https://tinyurl.com/28b3fwx9 https://tinyurl.com/zc8bprwm 1918年Karl Reinhardt在他的博士论文中探讨这个问题，并证明了可以密铺平面的六边形 虽然有无限多款，但都会属於以下3类的其中之一，每一类都有若干角度及边长上的限制 ，例如某些角加起来要等如360°、某些边长度须相同等︰ https://tinyurl.com/yekxd88k 在他的论文中，Reinhardt亦发现了5类可密铺平面的五边形，以下是其中一类，可以拼成 正六边形来密铺平面︰ https://tinyurl.com/3yvm4y3u 不过跟六边形的情况不同，他未能证明只有这5类五边形可以密铺平面。要到1967年这个 问题才有进展，当时在约翰·霍普金斯大学的基舒拿（Richard Brandon Kershner）发现 了另外3类可密铺平面的五边形，令总数增加至8类。 在介绍其发现的论文中，基舒拿宣称所有可密铺平面的五边形都不出这8个类别，他又说 证明这个清单完整「非常费力」，将会在别处提出证明。然而他根本不可能证明到这一件 事，因为尚有其他在当时未被发现的五边形，同样可以密铺平面。 作家葛登能（Martin Gardner）得悉基舒拿的发现後，在1975年在《科学美国人》（ Scientific American）杂志的数学专栏上撰文介绍。大学读哲学、未曾受过严格数学训 练的葛登能，擅长深入浅出解说数学谜题，吸引万千读者，也燃点了不少人对数学的兴趣 。而在密铺平面的五边形这个问题上，他更参与其中，推动数学发展。 文章刊出後，葛登能就收到电脑科学家Richard E. James III的一封信，附上另一类可以 密铺平面的五边形，以及这个问题︰「你是否同意基舒拿漏了这个？」在给基舒拿的一封 信中，葛登能以这个发现说明在数学界中，一个证明要得到专家共识接受才能算是证明。 https://tinyurl.com/5n7n4mpn Richard E. James III发现的五边形排列。图片来自Martin Gardner《Time travel and other mathematical bewilderments》一书，颜色经过修改以方便阅读。 基舒拿回信时指，自己在旧文章曾提到「数学史上曾有一些被广为接受的论证，最终被数 学家指出证明中的缺漏…而每年世界各地的数学期刊中，也有一定论文指出过往有人宣称 已证明的陈述其实不正确」，只是在写下有关段落时，不曾想过他本人终将成为其中一个 例子。 家庭主妇怀斯（Marjorie Rice）读了葛登能的文章後，亦开始探索密铺平面的世界，她 的家人不时见她坐在厨房秘密绘制图案，她的女儿说︰「我那时候以为她只是在涂鸦。」 在高中只读了一年数学的怀斯，最终发现了4类可以密铺平面的五边形，以及多种密铺平 面的图案。 在佛罗里达州出生的怀斯，在学期间曾跳两级，跟较年长的同学一起学习。虽然她对於学 习很有兴趣，但贫穷及文化规范令她的家庭未有考虑她可能读大学。1945年怀斯结婚，其 後搬到华盛顿特区，怀斯那时候成为一位商业艺术家，直到两人再搬到加州圣地牙哥市。 怀斯在一次访问中提到，她认为如果能发现一些未有人见过的美丽图案，会是非常美妙的 事情。她亦在文章中指自己着迷於这个题目，希望了解各类五边形为何如此独特，但由於 缺乏数学背景，她发展出一套自己的符号系统，并在数个月後发现新的可密铺平面五边形 。 https://tinyurl.com/532xp4bz 怀斯发现的其中两款五边形排列，以及她按此绘制的画作。图片由怀斯的女儿Kathy Rice 提供。 1976年2月，怀斯把她的第一个发现寄给葛登能，而葛登能则把她的发现转寄给其他有兴 趣的数学家，包括基舒拿和沙特施奈德（Doris Schattschneider），很快就确认这是新 的一类五边形。基舒拿写信问怀斯如何发现，并承认曾自己错误排除了这一类五边形。 当沙特施奈德检视怀斯的首个发现时，她认为这个「第9类」五边形跟基舒拿发现的「第7 类」及「第8类」五边形，可能同样属於另一个更大的家庭。於是沙特施奈德作出一项猜 想，并告知葛登能。不够两星期後，怀斯来信，指出她也曾作同样猜想，并证明了这猜想 是错的。 同一年，怀斯再发现了两类五边形，在1977年她又发现了一类，全部均前所未见。换言之 ，葛登能一篇文章换来5类可以密铺平面的五边形，令总数增至13类。 https://tinyurl.com/mr2apzkc 怀斯的笔记，图片出自《The Mathematical Gardner》一书。 1985年，德国研究生Rolf Stein发现了第14类五边形，此後30年问题一直未有进展。直到 2015年，华盛顿大学贝色分校的3位数学家Casey Mann、Jennifer McLoud及David Von Derau利用演算法发现了第15类五边形，撇除放大缩小外，这类五边形只得一款，五只角 的角度比各边长之间的比例均有规定。 https://tinyurl.com/59eswuc9 基舒拿的故事教训我们，即使数十年未有发现新的五边形，也不能轻言「就只有这些」— —除非有数学证明可以密铺平面的五边形只得15类。 法国CNRS的数学家拉奥（Michaël Rao）听到数学界发现第15类五边形後，决定彻底检索 ，以完全为所有可密铺平面的五边形分类。今年5月，Rao把他的手稿放上网，宣称已经彻 底解决了问题——答案只有15类，不多不少。 在其证明中，拉奥首先证明可以密铺平面的凸五边形种类有限，他利用一些简单的几何公 式去加入限制，例如五边形的5只角加起来必须是540°、每个顶点的角加起来必须是360 °（如果碰到其他五边形的角）或180°（碰到其他五边形的边时）。加入这些限制後， 拉奥计算出371个可能，再以电脑验证，发现全部可能情况都属於已发现的15类五边形之 中。 对於未能发现新的可密铺平面五边形，拉奥感到失望，但其他专家则表示，能够证明只有 15类五边形比起发现「新品种」更加重要，除了可以彻底解决这个问题外，更能用类似方 法挑战相关难题。 证明克卜勒猜想的数学家Thomas Hales独立验证了拉奥证明中最重要的一半，显示当中应 该没有出错，他对於拉奥的证明有信心。不过，这份手稿仍然未经同行审查，不能太快下 定论。假如拉奥的证明没错，怀斯就是自近百年前提出五边形密铺平面问题的Reinhardt 以外，发现最多五边形类别的一人。晚年患上失智症的怀斯於今年7月2日与世长辞，终年 94岁，永远无法得悉结果，不过她对攻克这个问题的贡献将永不磨灭。 资料来源︰ Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem (Quanta Magazine) Marjorie Rice’s Secret Pentagons (Quanta Magazine) There Are Only 15 Pentagonal Tilings (Probably) (Forbes) Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile (The Guardian) On Paving the Plane by R. B. Kershner Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane by Michaël Rao Convex pentagons that admit i-block transitive tilings by Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann, David Von Derau Perplexing Pentagons by Doris Schattschneider “Tiling with Convex Polygons”, Martin Gardner, reprinted in Time travel and other mathematical bewilderments. "In Praise of Amateurs", by Doris Schattschneider, in Klarner, David A., The Mathematical Gardner. --

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