作者deathcustom (Full House)
看板Math
標題Re: [中學] 高中數學 複數
時間Thu Jun 20 09:30:12 2024
※ 引述《aabbcc103 (aa)》之銘言：
: 各位板友大家好，想請問一下一個複數的問題，如連結所示
: https://imgur.com/a/N6nXos1
: 我原本想用先用畫出z的複數平面的圖，再觀察所求的如何去推測，但是沒有方向
: 後來想改用 z 的長度 = z * z爸 ，但是還是碰壁，所以想請問一下大家這題要怎麼解
: 謝謝大家幫忙
{Z*}Z = |Z|^2 = 4
(Z+3)/(Z*+3) = (Z+3)^2/|Z|^2 = 0.25*(Z^2+6Z+3)
看起來真............複雜對吧?
注意一件事，我們可以讓Z+3成為Z1而Z*+3就會成為Z1*
假設Z1= |Z1|Arg(Z1)，則所求為2*Arg(Z1)
接下來實數最小值就是cos(2*Arg(Z1)的最小值
考慮Img{Z}>0的這半部分(因為對稱，所以只考慮一半就好)
由於|Z|<3，所以Arg(Z1)<pi/2, 2*Arg(Z1)<pi
這段區間cos(2*Arg(Z1))是嚴格遞減函數
也就是所求等價於求2*Arg(Z1)的最大值=>求Arg(Z1)的最大值
此時，畫出圖畫：一個圓心位於(3,0)、半徑為2的圓
然後從圓點對它做切線就可以得到Arg(Z1)的最大值且cos(Arg(Z1))=sqrt(5)/3
sin(Arg(Z1)) = 2/3
所求cos(2*Arg(Z1)) = cos^2(Arg(Z1)) - sin^2(Arg(Z1)) = 5/9-4/9 = 1/9#
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※ 編輯: deathcustom (211.23.191.211 臺灣), 06/20/2024 09:32:47