作者deathcustom (Full House)
看板Math
标题Re: [中学] 高中数学 复数
时间Thu Jun 20 09:30:12 2024
※ 引述《aabbcc103 (aa)》之铭言：
: 各位板友大家好，想请问一下一个复数的问题，如连结所示
: https://imgur.com/a/N6nXos1
: 我原本想用先用画出z的复数平面的图，再观察所求的如何去推测，但是没有方向
: 後来想改用 z 的长度 = z * z爸 ，但是还是碰壁，所以想请问一下大家这题要怎麽解
: 谢谢大家帮忙
{Z*}Z = |Z|^2 = 4
(Z+3)/(Z*+3) = (Z+3)^2/|Z|^2 = 0.25*(Z^2+6Z+3)
看起来真............复杂对吧?
注意一件事，我们可以让Z+3成为Z1而Z*+3就会成为Z1*
假设Z1= |Z1|Arg(Z1)，则所求为2*Arg(Z1)
接下来实数最小值就是cos(2*Arg(Z1)的最小值
考虑Img{Z}>0的这半部分(因为对称，所以只考虑一半就好)
由於|Z|<3，所以Arg(Z1)<pi/2, 2*Arg(Z1)<pi
这段区间cos(2*Arg(Z1))是严格递减函数
也就是所求等价於求2*Arg(Z1)的最大值=>求Arg(Z1)的最大值
此时，画出图画：一个圆心位於(3,0)、半径为2的圆
然後从圆点对它做切线就可以得到Arg(Z1)的最大值且cos(Arg(Z1))=sqrt(5)/3
sin(Arg(Z1)) = 2/3
所求cos(2*Arg(Z1)) = cos^2(Arg(Z1)) - sin^2(Arg(Z1)) = 5/9-4/9 = 1/9#
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※ 编辑: deathcustom (211.23.191.211 台湾), 06/20/2024 09:32:47