作者ERT312 (312)
看板Math
標題Re: [微積]Vector Triple Product A ×(B ×C ) 證明
時間Sun Jun 16 11:13:03 2024
※ 引述《anoymouse (沒有暱稱)》之銘言：
: http://www.fen.bilkent.edu.tr/~ercelebi/Ax(BxC).pdf
: 請問最後Selecting arbitrarily...
: 為什麼隨意選的三個值有通用性? 怎麼確定再選其他值，λ也會是1?
: ----------------------------------------------------------------
: 從"one obtains"開始，這樣寫應該比較正確:
: m (A ·B) + n (A ·C) = 0
: m (A ·B) = -n (A ·C)
: 令λ = m/(A ·C) = -n/(A ·B)
: A ×(B ×C) = m*B + n*C
: A ×(B ×C) = λ*(A ·C)*B + (-λ)*(A ·B)*C
: 令A = 向量i, B= 向量j, C= 向量i，主要目標是希望(A ·B) 可以消失，
: 所以會變成:
: i ×(j ×i) = λ*(i ·i)*B + 0 = λ*B
: i ×(-k) = λ* j
: -(-j) = λ* j
: λ = 1.
: 另外隨意代入任意向量，λ都唯一原因:
: A ×(B ×C) = λ*[ (A ·C)*B - (A ·B)*C ]
: 假設存在λ_2 使得A ×(B ×C) =λ_2*[ (A ·C)*B - (A ·B)*C ]
: 則A ×(B ×C) / [ (A ·C)*B - (A ·B)*C ] = λ = λ_2
: 謝謝
這個說明還是不能當證明
我現在定義一個新的運算
A⊙B=|A|(A×B)
A⊙B 與 A×B 除了長度可能不同之外，方向相同
(|A|≠0或1，|B|≠0)
於是
A⊙(B⊙C)=A⊙(|B|(B×C))
=|A|(A×(|B|(B×C))
=|A||B|(A×(B×C))
然後你會發現用上面的方法
也可以"導出"
A⊙(B⊙C)=B(C．A)-C(A．B)
因為你舉了幾個例子後
發現λ都是1
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1F：→ musicbox810 : 原po的文章從頭到尾只用了外積的方向，缺少長度，也 06/16 11:20
2F：→ musicbox810 : 不應該直接令λ為universal constant 06/16 11:21
3F：→ mantour : 如果加上⊙要是bilinear map的條件的話，有辦法補 06/16 14:12
4F：→ mantour : 上漏洞嗎？ 06/16 14:12
5F：→ mantour : 應該說如果用上外積是bilinear map的條件是不是就 06/16 14:17
6F：→ mantour : 可以排除掉這種反例 06/16 14:17
7F：→ mantour : 有沒有辦法從線性條件導出lambda是常數 06/16 14:38
8F：→ ERT312 : 加上這條件的話就可以證明A⊙B=k(A×B), k 是常數 06/17 11:09
9F：→ ERT312 : 這樣代值就可以確定λ=1 06/17 11:10