作者ERT312 (312)
看板Math
标题Re: [微积]Vector Triple Product A ×(B ×C ) 证明
时间Sun Jun 16 11:13:03 2024
※ 引述《anoymouse (没有昵称)》之铭言：
: http://www.fen.bilkent.edu.tr/~ercelebi/Ax(BxC).pdf
: 请问最後Selecting arbitrarily...
: 为什麽随意选的三个值有通用性? 怎麽确定再选其他值，λ也会是1?
: ----------------------------------------------------------------
: 从"one obtains"开始，这样写应该比较正确:
: m (A ·B) + n (A ·C) = 0
: m (A ·B) = -n (A ·C)
: 令λ = m/(A ·C) = -n/(A ·B)
: A ×(B ×C) = m*B + n*C
: A ×(B ×C) = λ*(A ·C)*B + (-λ)*(A ·B)*C
: 令A = 向量i, B= 向量j, C= 向量i，主要目标是希望(A ·B) 可以消失，
: 所以会变成:
: i ×(j ×i) = λ*(i ·i)*B + 0 = λ*B
: i ×(-k) = λ* j
: -(-j) = λ* j
: λ = 1.
: 另外随意代入任意向量，λ都唯一原因:
: A ×(B ×C) = λ*[ (A ·C)*B - (A ·B)*C ]
: 假设存在λ_2 使得A ×(B ×C) =λ_2*[ (A ·C)*B - (A ·B)*C ]
: 则A ×(B ×C) / [ (A ·C)*B - (A ·B)*C ] = λ = λ_2
: 谢谢
这个说明还是不能当证明
我现在定义一个新的运算
A⊙B=|A|(A×B)
A⊙B 与 A×B 除了长度可能不同之外，方向相同
(|A|≠0或1，|B|≠0)
於是
A⊙(B⊙C)=A⊙(|B|(B×C))
=|A|(A×(|B|(B×C))
=|A||B|(A×(B×C))
然後你会发现用上面的方法
也可以"导出"
A⊙(B⊙C)=B(C．A)-C(A．B)
因为你举了几个例子後
发现λ都是1
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1F：→ musicbox810 : 原po的文章从头到尾只用了外积的方向，缺少长度，也 06/16 11:20
2F：→ musicbox810 : 不应该直接令λ为universal constant 06/16 11:21
3F：→ mantour : 如果加上⊙要是bilinear map的条件的话，有办法补 06/16 14:12
4F：→ mantour : 上漏洞吗？ 06/16 14:12
5F：→ mantour : 应该说如果用上外积是bilinear map的条件是不是就 06/16 14:17
6F：→ mantour : 可以排除掉这种反例 06/16 14:17
7F：→ mantour : 有没有办法从线性条件导出lambda是常数 06/16 14:38
8F：→ ERT312 : 加上这条件的话就可以证明A⊙B=k(A×B), k 是常数 06/17 11:09
9F：→ ERT312 : 这样代值就可以确定λ=1 06/17 11:10