作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [中學] 請教ㄧ題空間概念
時間Fri Jun 7 22:47:34 2024
※ 引述《a110009 (小飛)》之銘言：
: https://i.imgur.com/PcX3kN2.jpeg
: 如題，請問在不用微分的前提
: 怎麼用高二的方式處理
抱歉，當時推文太急了。
補一個作法：
首先，P、O、A 三點所決定的平面一定跟 xy 平面垂直，也就是說一定是 E: 24x-7y=0。
因為對任何一個不在 E 上的 P來說，我們把 P 在 E 上的投影點叫做 Q，
那麼 4OQ+5QA 會比 4OP+5PA 更小。
（上面這個事實對應折射定律的三線共面。）
再來，我們還是用「鏡射」類型的題目的思路去進行。
P 因為在 E 上，所以 a:b=7:24，那我們叫 a=7t, b=24t。
然後 OP=25|t| => 4OP=100|t|=5*20|t|。
剛好有個平面 F: 28x+96y+75z=0 滿足 d(P,F)=20|t|。（當然這是找出來的。）
此時 4OP+5PA = 5*d(P,F)+5PA ≧ 5*d(A,F) = 5*(28*7+96*24+75*6)/125 = 118。
（這邊其實也對應折射定律的 n*sinθ=定值。）
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1F：→ cuteSquirrel: 前面平面E那個段落看得懂。後半平面F看不懂。@@ 06/07 23:08
2F：→ cuteSquirrel: 請問F怎麼找 這個思路是怎麼來的 謝謝 06/07 23:08
4F：推 pnicarevol : 原來可以這樣做，感謝分享 06/08 09:49
5F：→ musicbox810 : 請問F要怎麼找出來？ 06/08 12:01
6F：推 pnicarevol : 換成平面來想更簡單些（如圖，原本的A'變成在x軸正 06/08 15:15
7F：→ pnicarevol : 向，原本的z軸變為y軸）。希望找到某個物件L，使得P 06/08 15:15
8F：→ pnicarevol : 點到L的距離d(P,L)恆等於(4/5)OP，這樣原式就可改寫 06/08 15:16
9F：→ pnicarevol : 為5d(P,L)+5PA=5(d(P,L)+PA)，就可以利用拉直線來 06/08 15:16
10F：→ pnicarevol : 找最小值。以此目標找到的物件L就是直線3x±4y=0。 06/08 15:16
11F：→ pnicarevol : 由於A點在第一象限，可取3x+4y=0。 06/08 15:16
13F：→ pnicarevol : 最後兩行打錯，應該是4x±3y=0 06/08 15:18
14F：→ mantour : 感謝分享 06/08 16:09
15F：→ musicbox810 : 謝謝pni大 06/08 16:16
16F：→ musicbox810 : 如果題目是5OP+4PA，是不是就行不通了？ 06/08 16:30
17F：→ pnicarevol : 暫時沒想到可以怎麼做類似的處理，但是這樣最小值就 06/08 17:16
18F：→ pnicarevol : 發生在P=O的時候了。 06/08 17:16
就很單純，5OP+4PA = OP + 4(OP+PA) ≧ 0 + 4OA。
回到 4OP+5PA：
不先討論三線共面的話，可以把 F 用圓錐面: 9z^2=16(x^2+y^2) 取代。
19F：推 cuteSquirrel: 看懂了 拉成等比例 後面就和平常 直線有最小距離 06/08 18:39
20F：→ cuteSquirrel: 做法相同 06/08 18:39
※ 編輯: Vulpix (1.160.35.171 臺灣), 06/09/2024 01:05:39
21F：→ musicbox810 : pni大能否解釋一下當初看出P=0時有最小值的原因？謝 06/09 07:24
22F：→ pnicarevol : 就是如同原PO說那樣，簡單比一下就可以 06/09 09:04
23F：→ pnicarevol : 不需要像4OP+5PA另外再找一個輔助的物件 06/09 09:05
24F：→ musicbox810 : 原來是這樣，我謝謝pni大，我還無法單純看的找出P點 06/09 13:36
25F：推 a110009 : 想不到這題背後還有那麼多東西可以討論，小弟受教了 06/09 15:30
26F：→ a110009 : ，真的很感謝各位大大 06/09 15:30