作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [中学] 请教ㄧ题空间概念
时间Fri Jun 7 22:47:34 2024
※ 引述《a110009 (小飞)》之铭言：
: https://i.imgur.com/PcX3kN2.jpeg
: 如题，请问在不用微分的前提
: 怎麽用高二的方式处理
抱歉，当时推文太急了。
补一个作法：
首先，P、O、A 三点所决定的平面一定跟 xy 平面垂直，也就是说一定是 E: 24x-7y=0。
因为对任何一个不在 E 上的 P来说，我们把 P 在 E 上的投影点叫做 Q，
那麽 4OQ+5QA 会比 4OP+5PA 更小。
（上面这个事实对应折射定律的三线共面。）
再来，我们还是用「镜射」类型的题目的思路去进行。
P 因为在 E 上，所以 a:b=7:24，那我们叫 a=7t, b=24t。
然後 OP=25|t| => 4OP=100|t|=5*20|t|。
刚好有个平面 F: 28x+96y+75z=0 满足 d(P,F)=20|t|。（当然这是找出来的。）
此时 4OP+5PA = 5*d(P,F)+5PA ≧ 5*d(A,F) = 5*(28*7+96*24+75*6)/125 = 118。
（这边其实也对应折射定律的 n*sinθ=定值。）
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1F：→ cuteSquirrel: 前面平面E那个段落看得懂。後半平面F看不懂。@@ 06/07 23:08
2F：→ cuteSquirrel: 请问F怎麽找 这个思路是怎麽来的 谢谢 06/07 23:08
4F：推 pnicarevol : 原来可以这样做，感谢分享 06/08 09:49
5F：→ musicbox810 : 请问F要怎麽找出来？ 06/08 12:01
6F：推 pnicarevol : 换成平面来想更简单些（如图，原本的A'变成在x轴正 06/08 15:15
7F：→ pnicarevol : 向，原本的z轴变为y轴）。希望找到某个物件L，使得P 06/08 15:15
8F：→ pnicarevol : 点到L的距离d(P,L)恒等於(4/5)OP，这样原式就可改写 06/08 15:16
9F：→ pnicarevol : 为5d(P,L)+5PA=5(d(P,L)+PA)，就可以利用拉直线来 06/08 15:16
10F：→ pnicarevol : 找最小值。以此目标找到的物件L就是直线3x±4y=0。 06/08 15:16
11F：→ pnicarevol : 由於A点在第一象限，可取3x+4y=0。 06/08 15:16
13F：→ pnicarevol : 最後两行打错，应该是4x±3y=0 06/08 15:18
14F：→ mantour : 感谢分享 06/08 16:09
15F：→ musicbox810 : 谢谢pni大 06/08 16:16
16F：→ musicbox810 : 如果题目是5OP+4PA，是不是就行不通了？ 06/08 16:30
17F：→ pnicarevol : 暂时没想到可以怎麽做类似的处理，但是这样最小值就 06/08 17:16
18F：→ pnicarevol : 发生在P=O的时候了。 06/08 17:16
就很单纯，5OP+4PA = OP + 4(OP+PA) ≧ 0 + 4OA。
回到 4OP+5PA：
不先讨论三线共面的话，可以把 F 用圆锥面: 9z^2=16(x^2+y^2) 取代。
19F：推 cuteSquirrel: 看懂了 拉成等比例 後面就和平常 直线有最小距离 06/08 18:39
20F：→ cuteSquirrel: 做法相同 06/08 18:39
※ 编辑: Vulpix (1.160.35.171 台湾), 06/09/2024 01:05:39
21F：→ musicbox810 : pni大能否解释一下当初看出P=0时有最小值的原因？谢 06/09 07:24
22F：→ pnicarevol : 就是如同原PO说那样，简单比一下就可以 06/09 09:04
23F：→ pnicarevol : 不需要像4OP+5PA另外再找一个辅助的物件 06/09 09:05
24F：→ musicbox810 : 原来是这样，我谢谢pni大，我还无法单纯看的找出P点 06/09 13:36
25F：推 a110009 : 想不到这题背後还有那麽多东西可以讨论，小弟受教了 06/09 15:30
26F：→ a110009 : ，真的很感谢各位大大 06/09 15:30