作者mantour (朱子)
看板Math
標題Re: [中學] 請教ㄧ題空間概念
時間Thu Jun 6 23:51:33 2024
※ 引述《a110009 (小飛)》之銘言：
: https://i.imgur.com/PcX3kN2.jpeg
: 如題，請問在不用微分的前提
: 怎麼用高二的方式處理
4 OP + 5 PA =
4sqrt (a^2 + b^2) + 5sqrt( (7-a)^2 + (24-b)^2 + 6^2 )
易知有最小值時 0<=a<=7 , 0<=b<=24
令 p^2 + q^2 = 16 且 p : q = 7 : 24
=> p = 28/25, q=96/25
4 OP + 5 PA =
sqrt (p^2+q^2) sqrt(a^2+b^2) +
sqrt(p^2+q^2+3^2) sqrt((7-a)^2 + (24-b)^2 + 6^2)
>= | pa+bq| + | p(7-a) + q(24-b) + 18 |
= 7p + 24q + 18
當 a:b = p : q = 7:24 且 (7-a): (24-b): 6 = p : q : 3 時等號成立
即
當 a = 119/25 , b = 408/25 時
4OP + 5PA 有最小值為 7*28/25+24*96/25+18 = 118
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1F：推 cuteSquirrel: 柯西 漂亮 06/07 00:52
2F：→ musicbox810 : 想請教m大，為什麼可以一開始就令p : q = 7 : 24？ 06/09 07:23
3F：→ musicbox810 : = 7p + 24q + 18 的=是不是應該為>= 06/09 08:50
4F：→ mantour : 7：24才能讓兩個不等式的等號同時成立 06/09 12:11
5F：→ mantour : 因為已經限定a,b的範圍，所以絕對值可以直接去掉， 06/09 12:13
6F：→ mantour : 所以是等號 06/09 12:13
7F：→ mantour : 7：24是湊出來的 06/09 12:23
8F：→ mantour : p,q是湊出來的常數不是未知數，後面的式子都可以直 06/09 12:27
9F：→ mantour : 接把值代進去，只是懶得寫所以才繼續寫p,q 06/09 12:27
10F：→ mantour : 如果不是這個值的話兩個不等式的等號不會同時成立 06/09 12:27
11F：→ musicbox810 : 謝謝m大，我好像懂了 06/09 13:44
12F：→ musicbox810 : 抱歉m大，還有一個疑問，怎麼知道有最小值時0<=a<= 06/09 14:01
13F：→ musicbox810 : 7，0<=b<=24？ 06/09 14:01
14F：推 cuteSquirrel: 因為超過範圍形成的a,b都是繞遠路的折線 06/09 14:04
15F：→ musicbox810 : 針對0<=a<=7 , 0<=b<=24的沒有比較直接的證明，如果 06/09 17:54
16F：→ musicbox810 : 是證明繞遠路，似乎說明解釋的篇幅會比較多 06/09 17:55
17F：→ musicbox810 : 不知道有沒有可以直接看的 06/09 17:55
18F：→ mantour : 如果a<0，代入的值大於a=0的值，如果a>7，代入的值 06/09 23:45
19F：→ mantour : 就大於a=7的值；b同理。 06/09 23:45
20F：→ musicbox810 : 謝謝m大，看懂了 06/10 07:39