※ 引述《swfswf (scfw)》之銘言： : ※ 引述《hau (小豪)》之銘言： : : 給定一圓錐曲線(形狀有一點像是拋物線的一部分) : : 題目：如何用筆、尺與量角器，得知此曲線為何種圓錐曲線？ : : (題目來源應該是當年的考生記出來的) : : 如果沒有圓規……，我懷疑題目沒記清楚 : 做為一個有趣的問題，題目應該是給定一段圓錐曲線，怎樣用尺規作圖，判斷這是橢圓、 : 雙曲線、還是拋物線呢？ : 用以下圓錐曲線的特性即可，作一組平行線L1, L2相交圓錐曲線C於2個線段P1Q1和P2Q2， : P1Q1的中點M1和P2Q2的中點連線形成的直線K，如果： : C是拋物線：K會和準線平行 這裡怪怪的 你討論的準線定義跟我記憶中不同，但是無傷大雅，下面依據你的方法整理標準流程 : C是橢圓或雙曲線：K會通過橢圓或雙曲線的中心 : 根據以上的性質，我們可以作2組不同的平行線和C相交，截出的線段中點連線為K1，K2： : 如果K1和K2平行，C是拋物線。 : 如果K1和K2相交點為P，C曲線像是繞著它轉，C是橢圓，否則C是雙曲線。 所以標準作法： 作四條線，兩兩一組平行，兩組互不平行 每一條線與圓錐曲線交於兩點，取其中點 =>從圓錐曲線段的兩端點AB連線得到L1 =>從其中一端點A作一L2交圓錐曲線於C =>從C作一L3平行L1(量角器派上用場)交圓錐曲線於D =>從D作一L4平行L2(量角器再次派上用場)交圓錐曲線於E AB的中點M11與CD的中點M12連線作K1 BC的中點M21與DE的中點M22連線作K2 找出K1與K2的關係 1. 平行=>拋物線 使用量角器判斷是否平行 如果不平行的話，可以由同側角與180度的關係判斷兩線交點 2. 相交於圓錐曲線的凹側=>橢圓 3. 相交於圓錐曲線的凸側=>雙曲線 : 至於上述圓錐曲線的特性如何證明呢？ : 拋物線的情形，不失一般性，假定C的方程式是 : y=a*x^2 : y=mx+t為一族直線，m為常數，t為任意實數 : 給定t的一條直線交於C的2個點的x座標滿足方程 : a*x^2 - mx - t = 0 : 兩根和的平均為m/(2*a) : 代入y=mx+t得到y=m^2/(2*a)+t : (m/(2*a), m^2/(2*a)+t)為一平行準線y軸的直線。 : 橢圓或雙曲線的情形，不失一般性，假定C的方程式是 : x^2 + a*y^2 - 1 = 0, a>0為橢圓, a<0為雙曲線，中心就是原點。 : y=mx+t為一族直線，m為常數，t為任意實數 : 給定t的一條直線交於C的2個點的x座標滿足方程 : x^2 + a*(mx+t)^2 - 1 = 0 : 展開得 : (1+a*m^2)*x^2 + 2*a*m*t*x + a*t^2 - 1 = 0 : 兩根和的平均為 - a*m*t/(1+a*m^2) : 代入y=mx+t得到 y = - m * a*m*t/(1+a*m^2) + t = t/(1+a*m^2) : (-a*m*t/(1+a*m^2), t/(1+a*m^2))為一條過原點的直線。 --

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