※ 引述《swfswf (scfw)》之铭言： : ※ 引述《hau (小豪)》之铭言： : : 给定一圆锥曲线(形状有一点像是抛物线的一部分) : : 题目：如何用笔、尺与量角器，得知此曲线为何种圆锥曲线？ : : (题目来源应该是当年的考生记出来的) : : 如果没有圆规……，我怀疑题目没记清楚 : 做为一个有趣的问题，题目应该是给定一段圆锥曲线，怎样用尺规作图，判断这是椭圆、 : 双曲线、还是抛物线呢？ : 用以下圆锥曲线的特性即可，作一组平行线L1, L2相交圆锥曲线C於2个线段P1Q1和P2Q2， : P1Q1的中点M1和P2Q2的中点连线形成的直线K，如果： : C是抛物线：K会和准线平行 这里怪怪的 你讨论的准线定义跟我记忆中不同，但是无伤大雅，下面依据你的方法整理标准流程 : C是椭圆或双曲线：K会通过椭圆或双曲线的中心 : 根据以上的性质，我们可以作2组不同的平行线和C相交，截出的线段中点连线为K1，K2： : 如果K1和K2平行，C是抛物线。 : 如果K1和K2相交点为P，C曲线像是绕着它转，C是椭圆，否则C是双曲线。 所以标准作法： 作四条线，两两一组平行，两组互不平行 每一条线与圆锥曲线交於两点，取其中点 =>从圆锥曲线段的两端点AB连线得到L1 =>从其中一端点A作一L2交圆锥曲线於C =>从C作一L3平行L1(量角器派上用场)交圆锥曲线於D =>从D作一L4平行L2(量角器再次派上用场)交圆锥曲线於E AB的中点M11与CD的中点M12连线作K1 BC的中点M21与DE的中点M22连线作K2 找出K1与K2的关系 1. 平行=>抛物线 使用量角器判断是否平行 如果不平行的话，可以由同侧角与180度的关系判断两线交点 2. 相交於圆锥曲线的凹侧=>椭圆 3. 相交於圆锥曲线的凸侧=>双曲线 : 至於上述圆锥曲线的特性如何证明呢？ : 抛物线的情形，不失一般性，假定C的方程式是 : y=a*x^2 : y=mx+t为一族直线，m为常数，t为任意实数 : 给定t的一条直线交於C的2个点的x座标满足方程 : a*x^2 - mx - t = 0 : 两根和的平均为m/(2*a) : 代入y=mx+t得到y=m^2/(2*a)+t : (m/(2*a), m^2/(2*a)+t)为一平行准线y轴的直线。 : 椭圆或双曲线的情形，不失一般性，假定C的方程式是 : x^2 + a*y^2 - 1 = 0, a>0为椭圆, a<0为双曲线，中心就是原点。 : y=mx+t为一族直线，m为常数，t为任意实数 : 给定t的一条直线交於C的2个点的x座标满足方程 : x^2 + a*(mx+t)^2 - 1 = 0 : 展开得 : (1+a*m^2)*x^2 + 2*a*m*t*x + a*t^2 - 1 = 0 : 两根和的平均为 - a*m*t/(1+a*m^2) : 代入y=mx+t得到 y = - m * a*m*t/(1+a*m^2) + t = t/(1+a*m^2) : (-a*m*t/(1+a*m^2), t/(1+a*m^2))为一条过原点的直线。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 220.135.123.105 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1714069075.A.23F.html ※ 编辑: deathcustom (220.135.123.105 台湾), 04/26/2024 02:18:34 ※ 编辑: deathcustom (220.135.123.105 台湾), 04/26/2024 02:38:21