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標題Re: [中學] 2016台大大學部申請入學電機二階筆試
時間Thu Apr 25 22:56:41 2024
※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 給定一圓錐曲線(形狀有一點像是拋物線的一部分)
: 題目：如何用筆、尺與量角器，得知此曲線為何種圓錐曲線？
: (題目來源應該是當年的考生記出來的)
: 如果沒有圓規……，我懷疑題目沒記清楚
做為一個有趣的問題，題目應該是給定一段圓錐曲線，怎樣用尺規作圖，判斷這是橢圓、
雙曲線、還是拋物線呢？
用以下圓錐曲線的特性即可，作一組平行線L1, L2相交圓錐曲線C於2個線段P1Q1和P2Q2，
P1Q1的中點M1和P2Q2的中點連線形成的直線K，如果：
C是拋物線：K會和對稱軸平行
C是橢圓或雙曲線：K會通過橢圓或雙曲線的中心
根據以上的性質，我們可以作2組不同的平行線和C相交，截出的線段中點連線為K1，K2：
如果K1和K2平行，C是拋物線。
如果K1和K2相交點為P，C曲線像是繞著它轉，C是橢圓，否則C是雙曲線。
至於上述圓錐曲線的特性如何證明呢？
拋物線的情形，不失一般性，假定C的方程式是
y=a*x^2
y=mx+t為一族直線，m為常數，t為任意實數
給定t的一條直線交於C的2個點的x座標滿足方程
a*x^2 - mx - t = 0
兩根和的平均為m/(2*a)
代入y=mx+t得到y=m^2/(2*a)+t
(m/(2*a), m^2/(2*a)+t)為一平行y軸，也就是對稱軸的直線。
橢圓或雙曲線的情形，不失一般性，假定C的方程式是
x^2 + a*y^2 - 1 = 0, a>0為橢圓, a<0為雙曲線，中心就是原點。
y=mx+t為一族直線，m為常數，t為任意實數
給定t的一條直線交於C的2個點的x座標滿足方程
x^2 + a*(mx+t)^2 - 1 = 0
展開得
(1+a*m^2)*x^2 + 2*a*m*t*x + a*t^2 - 1 = 0
兩根和的平均為 - a*m*t/(1+a*m^2)
代入y=mx+t得到 y = - m * a*m*t/(1+a*m^2) + t = t/(1+a*m^2)
(-a*m*t/(1+a*m^2), t/(1+a*m^2))為一條過原點的直線。
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