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标题Re: [中学] 2016台大大学部申请入学电机二阶笔试
时间Thu Apr 25 22:56:41 2024
※ 引述《hau (小豪)》之铭言:
: 给定一圆锥曲线(形状有一点像是抛物线的一部分)
: 题目:如何用笔、尺与量角器,得知此曲线为何种圆锥曲线?
: (题目来源应该是当年的考生记出来的)
: 如果没有圆规……,我怀疑题目没记清楚
做为一个有趣的问题,题目应该是给定一段圆锥曲线,怎样用尺规作图,判断这是椭圆、
双曲线、还是抛物线呢?
用以下圆锥曲线的特性即可,作一组平行线L1, L2相交圆锥曲线C於2个线段P1Q1和P2Q2,
P1Q1的中点M1和P2Q2的中点连线形成的直线K,如果:
C是抛物线:K会和对称轴平行
C是椭圆或双曲线:K会通过椭圆或双曲线的中心
根据以上的性质,我们可以作2组不同的平行线和C相交,截出的线段中点连线为K1,K2:
如果K1和K2平行,C是抛物线。
如果K1和K2相交点为P,C曲线像是绕着它转,C是椭圆,否则C是双曲线。
至於上述圆锥曲线的特性如何证明呢?
抛物线的情形,不失一般性,假定C的方程式是
y=a*x^2
y=mx+t为一族直线,m为常数,t为任意实数
给定t的一条直线交於C的2个点的x座标满足方程
a*x^2 - mx - t = 0
两根和的平均为m/(2*a)
代入y=mx+t得到y=m^2/(2*a)+t
(m/(2*a), m^2/(2*a)+t)为一平行y轴,也就是对称轴的直线。
椭圆或双曲线的情形,不失一般性,假定C的方程式是
x^2 + a*y^2 - 1 = 0, a>0为椭圆, a<0为双曲线,中心就是原点。
y=mx+t为一族直线,m为常数,t为任意实数
给定t的一条直线交於C的2个点的x座标满足方程
x^2 + a*(mx+t)^2 - 1 = 0
展开得
(1+a*m^2)*x^2 + 2*a*m*t*x + a*t^2 - 1 = 0
两根和的平均为 - a*m*t/(1+a*m^2)
代入y=mx+t得到 y = - m * a*m*t/(1+a*m^2) + t = t/(1+a*m^2)
(-a*m*t/(1+a*m^2), t/(1+a*m^2))为一条过原点的直线。
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