https://www.quantamagazine.org/a-new-agenda-for-low-dimensional-topology-20240222/ Kevin Hartnett 去年十月，數十名數學家聚集在帕薩迪納，創建了第三版「柯比清單」——拓撲學中最重 要的未解決問題的綱要，即可變形形狀的研究。 去年十月的一個早晨，羅布·柯比（Rob Kirby）站在一屋子數學家面前，告訴他們不要因 為他過去做事的方式而感到束縛。 在過去的半個世紀裡 ，85 歲的柯比 一直是低維度拓樸（可變形形狀研究）領域的核心 人物。 除了重要的研究貢獻外，1978 年，他還發布了 。 後來被稱為「柯比清單」的第 一版——其中包含 80 個開放問題，幫助制定了該領域未來幾十年的研究議程 二十年後 ，也就是 1997 年，他發布了 該榜單的第二個同樣有影響力的版本 。 柯比正在演講的幾十位數學家 在帕薩迪納的美國數學研究所 (AIM) 召開會議，創建了該 清單的第三個版本。 並不是說之前列出的所有問題都已解決——大多數都沒有——但許 多問題已經過時了。 雖然數學是永恆的，但這個領域是由追隨時尚的人們實踐的，許多 舊問題不再被認為是有趣的。 “我們認為有些子領域很有聲望，而另一些子領域卻沒有人關心。” 之一 。 德克薩斯 大學奧斯汀分校的瑪吉·米勒（Maggie Miller）是該名單的 14 名編輯 這次會議是由 布蘭代斯大學的丹尼爾·魯伯曼（Daniel Ruberman） 構思的，丹尼爾魯 伯曼是20 世紀80 年代初柯比的學生 和馬薩諸塞州大學的伊南·拜庫爾（Inanç Baykur ） ，他是魯伯曼手下的博士後研究員。 他們希望這份清單由困難而重要的問題組成。 「這應該是一個足夠有趣的問題，如果解決方案出現，它將有可能改變這個領域，」米勒 說。 Baykur補充道：“也許一小部分可以在未來兩到三年內解決。” 自從柯比發表第一份清單以來的半個世紀裡，數學家決定什麼是重要的方式本身已經改變 了。 即使個人猜想的真假是客觀事實的問題，對它們的重要性進行排名也是一個主觀的 社會過程。 在當今全球互聯的世界中，這個過程看起來與 20 世紀 70 年代有很大不同 。 新榜單的故事就是這些變化的故事。 列表的開頭 柯比自己的職業生涯始於一份問題清單。 1963 年，作為芝加哥大學的研究生，他參加了 在西雅圖舉行的一次會議，會上數學家 約翰·米爾諾 (John Milnor) 列出了拓撲學中七 個最重要的開放問題。 最後一個問題是環空猜想，它指出兩個適當定義的球體之間的空 間始終呈現環空的形狀，即兩個同心圓之間的區域。 對於圓形和正常的三維球來說確實如此，但在更高的維度中——涉及五維或六維或任意數 量的球體對——令人驚訝的事情會發生。 1969 年，當柯比在加州大學洛杉磯分校擔任助 理教授時，在考慮到一些限制（球體在特定數學意義上必須是光滑的）的情況下，證明了 該理論對於五維及更高維度是正確的。 根據這個結果，加州大學洛杉磯分校直接晉升為正教授，並將薪水翻倍。 兩年後，他獲 得了著名的 奧斯瓦爾德·維勃倫幾何獎 。 柯比將職業生涯早期的成功部分歸功於米爾 諾清單的存在，該清單為他提供了比他在研究生院從周圍的人那裡得到的更多種類的項目 可供選擇。 「對於那些喜歡解決問題但不一定想做顧問告訴他們要做的事情的人來說，問題清單很有 價值，」他說。 1976 年 8 月，柯比在史丹佛大學舉行的美國數學學會會議上開始整理他的第一個問題清 單。 在接下來的兩年裡，他透過電話、信件以及在參加的會議上與數學家的非正式交談 建立了這份清單，並於 1978 年將其作為擴展期刊文章發表。 正如米勒所說，“他只是給他認識的每個人都打了電話。” 這份清單包含大約 80 個問題，分為五個章節。 前四章討論一維結、二維表面以及三維 和四維流形（像球體表面這樣的空間，局部看起來平坦，但可以具有更複雜的全局結構） 。 第五章是雜項問題。 儘管柯比廣泛徵求意見才整理出這份清單，但最終的產品毫無疑 問是他的。 柯比說：“我更具包容性，而不是排他性。”但他補充道，“我幾乎是最終的仲裁者。” 第二份名單 20 世紀 70 年代末是創建拓撲問題清單的好時機。 在本世紀初，這個領域規模很小，但 在接下來的十年裡，它出現了爆炸性增長。 1981 年， 邁克爾·弗里德曼 (Michael Freedman) 解決了龐加萊猜想的四維版本，這是一個 具有里程碑意義的證明 需要數年時 間才能消化的 。 （猜想詢問類似球體的數學物件是否一定是球體。弗里德曼證明，答案 是肯定的。）一年後，威廉瑟斯頓發表了幾何化猜想，該猜想將一些拓撲結構分類為幾何 類別。 這個猜想將分析（微積分的高階形式）工具直接帶入拓樸。 同年， 西蒙唐納森 (Simon Donaldson) 在四維流形方面的工作將微分幾何（結合了微積分和幾何）引入了這 個領域。 「很難描述進展有多快。 這是數學史上最偉大的時期之一，一場又一場革命，」魯伯曼 說。 所有這些活動的結果是，柯比的清單在幾年之內就幾乎過時了。 但建立問題清單並不是 柯比的主要工作。 直到 1993 年夏天在喬治亞大學舉行的會議上，他才決定徹底修改這 份名單。 柯比開始在會議上收集問題，並透過電子郵件繼續工作，當他整理第一個清單時，電子郵 件並不常用。 結果，這份名單變得越來越龐大。 最終清單包含415 個問題，並於1997 年作為一本書出版。第三個清單開始後，第二個項目被追溯稱為K2，就像柯比清單的第二 個版本一樣，也是對第二個清單的認可。- 世界上最高的山。 擴展的格式有助於鞏固第 二版清單作為試金石和記分卡的地位。 解決柯比問題引起了年輕數學家的注意。 「如果你正在為某人寫一封推薦信，並且他們已經解決了柯比問題，你就會在信中提到這 一點」參與研討會並幫助編輯列表的波士頓數學院數學家John Baldwin 說。 參加研討會的德國波昂馬克斯普朗克數學研究所的小組組長阿魯尼瑪雷 (Arunima Ray) 表示，在她2011 年通過資格考試後，她的博士生導師做的第一件事就是給她一份K2 列表 的副本，“了解人們感興趣的重大問題。” 當然，關於什麼是重要的決定取決於房間裡做出這些決定的人。 柯比名單反映了一種源 自柯比社會政治世界觀的教學哲學。 他將自己描述為古典自由主義者，並引用了 19 世 紀英國哲學家約翰·斯圖爾特·密爾 (John Stuart Mill) 對其思想的重要影響。 「古典自由主義者確實相信自由、言論自由和政府的寬鬆政策，所以這就是我的觀點，」 他說。 「在某種程度上，這與不告訴我的學生該做什麼是一致的。 這有點讓他們自由發 揮。” 柯比將這些信念融入他思考和談論數學界的方式。 2021 年，他與加州其他 1,000 多名 數學和科學專業人士共同簽署了一封 公開信 ，批評該州採用新的K-12 數學課程的提議 ，該課程將使社會正義考慮成為該州發展方式的核心.教授該主題。 受到了 加州的提案 在數學界 相當多的批評，其中包括限制高級課程的提供，以及不強調微積分預科課程而 轉而支持“數據科學”。 柯比歷來對數學中是否存在結構性偏見持懷疑態度，包括該領域的性別失衡。1970年代大 約10%的數學家是女性；根據國際科學理事會2020年的報告，如今有近30%的人是這樣的。 柯比在20世紀90年代在《美國數學會通知》上的一篇文章中表示，這些令人沮喪的數字並 不是該領域任何偏見的結果，該文章已提交 ，但從未發表。 柯比寫道：「在我看來，數 學領域女性人數較少並不是因為男性的歧視，也不是女性天生的自卑，而是因為一個簡單 的事實，即選擇進入數學領域的男性多於女性。 」 對許多數學家來說，很少有女性進入這個領域的事實絕非一個簡單的事實。 「有證據表 明，這裡存在反饋效應：由於女教授太少，女學生無法透過數學看到清晰的職業道路，因 此她們決定不攻讀博士學位，」四位著名女數學家寫道2022 年 《 泰晤士報高等教育增 刊》。 正如國際科學理事會的報告所述，在分析了數十萬篇已發表數學論文的數據集後 ，「各種結構性和系統性因素肯定以不同於男性的方式影響了女性數學家的職業生涯。” 柯比的觀點在低維拓樸界眾所周知。 我問柯比，他是否認為這會讓女性更難參與像最近 他在會議上扮演重要角色的場合。 他說他不知道，因為除了一位數學家之外，沒有人向 他提出過這個問題。 馬克斯普朗克研究所性別平等官員雷說：「我不認為這影響了會議的感覺。 我確實認為 這塑造了人們對數學領域的看法，但我認為總的來說，我們確實將數學與數學家分開。” 共同努力 正如 K1 之後一樣，低維拓撲在 K2 發布後迅速發展。 一項重大發展是塞伯格-維騰理論 的闡述，該理論利用物理學的想法來區分四維流形。 到 2000 年代末，星之卡比清單已 準備好再次更新。 「問題是，自 20 世紀 90 年代以來，這個領域變得更大，變得更大，」Baykur 說。 這次創建新清單的動力來自魯伯曼和拜庫爾。 他們在 2013 年左右開始收集問題。但在 他們的其他義務和大流行之間，直到 2023 年 10 月，他們才設法召集了一群拓撲學家親 自會面。 他們希望清單的第三個版本更多是共同努力的成果。 「最初的清單很棒，我很高興它在那裡，但這種新格式值得稱讚，因為它使它更加開放， 」雷說。 2022 年底，Kirby 與 Baykur 和 Ruberman 一起成為會議的聯合組織者。 他們邀請了來 自低維拓撲主要領域的專家——與柯比在清單的早期版本中使用的相同的五章結構相對應 ——但試圖避免邀請太多專家，以至於沒有人與其他人有任何共同點。 拜庫爾和魯伯曼負責大部分組織工作，而柯比則承擔了更多的名義角色。 「這有點像羅布的孩子，你知道，就像他在情感上負責一樣。 但丹尼和伊南克負責所有 的後勤工作，」米勒說。 10 月 30 日星期一，該小組開始研究 K3 列表（之所以這樣稱呼，是因為顯而易見的原 因，並且也參考了 K3 曲面，K3 曲面是拓撲中的重要對象）。 此清單反映了自 K2 以來低維拓撲的發展方式。 1990 年代初，Andreas Floer 的工作提 出了對三維流形進行排序的新方法。 到那個十年末，這些方法已經發展成為一個完整的 研究領域，Heegaard Floer 同調性，並且在該領域內現在有許多不同的方法來區分流形 。 這些方法應該都是一致的，但目前還不確定它們是否一致，K3 將包含旨在解決問題的 問題。 柯比在數學家們每天早上聚集的主報告廳紮營，大部分時間都避開了腦力激盪會議。 週 二上午， 普林斯頓大學的戴夫·加拜 (Dave Gabai) 向全組做了一場關於舍恩弗利斯猜 想和龐加萊猜想之間聯繫的講座，這可以說是光滑四維拓撲中兩個最重要的開放問題。 Schoenflies 猜想與 Kirby 在 20 世紀 60 年代研究的環空猜想具有相似的風格。 它預 測，如果兩個球體在一維上存在差異（例如圓與球的表面），並且將低維球體（圓）嵌入 到高維球體（球的表面）中，則前者總是將後者切成相當於兩個球的大小。 當你在地球 上蝕刻一個圓（就像形成赤道）時，這顯然是正確的，但與環空猜想一樣，在更高的維度 中，它的正確性不太明顯。 隨後卡比找到了加拜，兩人就加拜談話的意義聊了幾個小時。 在本週的其他時間裡，柯 比還花時間向他在數學社群的廣泛網路發送電子郵件，尋求對該清單的貢獻。 「在某些方面，這與他在之前的名單中所做的非常相似，」魯伯曼說。“他不太願意走 進房間。他會向人們發送電子郵件，說：’研討會上有人這麼說，你對此有何看法？” 作戰室 在會議的最後兩天，拜庫爾和魯伯曼要求與會者寫下他們整理的問題。 這感覺就像一個 作戰室，數學家在回家之前匆匆寫下他們解決的問題的摘要。 「這真的就像你在大學時的感覺，第二天你就要交作業，班上的每個人都在一個房間裡， 而且現在是凌晨 2 點，」米勒說。 週四早上，數學家們編制清單的共享文件幾乎是空的，但隨著數十名數學家同時編輯，文 件數量迅速增加。 到週五，問題清單已超過 250 頁。 與卡比之前的兩次努力相比，這 次旋風經歷幾乎無法辨認。 「這讓我感覺自己老了，因為當我參加K2時，我花了兩到三年的時間。 我會和一個人坐下 來，我們一起寫下問題，」柯比說。 “在 K3 中，我只遇到了少量問題。” 經過未參加帕薩迪納會議的拓撲學家的修改和補充，Baykur 和 Ruberman 希望在今年年 底之前發布約 400 個問題的清單。 Baykur、Ruberman 和其他編輯仍在爭論更新清單的 頻率。 他們可以透過保持線上版本最新來延長 K3 的保質期，但他們看到這樣做的缺點 。 Baykur 說，前兩個清單「是歷史文獻，了解他們如何看待 20 世紀 70 年代和 1990 年代的事物以及他們如何思考數學，資訊量非常大。 我想要一份類似的當代文獻。” --

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