https://www.quantamagazine.org/a-new-agenda-for-low-dimensional-topology-20240222/ Kevin Hartnett 去年十月，数十名数学家聚集在帕萨迪纳，创建了第三版「柯比清单」——拓扑学中最重 要的未解决问题的纲要，即可变形形状的研究。 去年十月的一个早晨，罗布·柯比（Rob Kirby）站在一屋子数学家面前，告诉他们不要因 为他过去做事的方式而感到束缚。 在过去的半个世纪里 ，85 岁的柯比 一直是低维度拓朴（可变形形状研究）领域的核心 人物。 除了重要的研究贡献外，1978 年，他还发布了 。 後来被称为「柯比清单」的第 一版——其中包含 80 个开放问题，帮助制定了该领域未来几十年的研究议程 二十年後 ，也就是 1997 年，他发布了 该榜单的第二个同样有影响力的版本 。 柯比正在演讲的几十位数学家 在帕萨迪纳的美国数学研究所 (AIM) 召开会议，创建了该 清单的第三个版本。 并不是说之前列出的所有问题都已解决——大多数都没有——但许 多问题已经过时了。 虽然数学是永恒的，但这个领域是由追随时尚的人们实践的，许多 旧问题不再被认为是有趣的。 “我们认为有些子领域很有声望，而另一些子领域却没有人关心。” 之一 。 德克萨斯 大学奥斯汀分校的玛吉·米勒（Maggie Miller）是该名单的 14 名编辑 这次会议是由 布兰代斯大学的丹尼尔·鲁伯曼（Daniel Ruberman） 构思的，丹尼尔鲁 伯曼是20 世纪80 年代初柯比的学生 和马萨诸塞州大学的伊南·拜库尔（Inanç Baykur ） ，他是鲁伯曼手下的博士後研究员。 他们希望这份清单由困难而重要的问题组成。 「这应该是一个足够有趣的问题，如果解决方案出现，它将有可能改变这个领域，」米勒 说。 Baykur补充道：“也许一小部分可以在未来两到三年内解决。” 自从柯比发表第一份清单以来的半个世纪里，数学家决定什麽是重要的方式本身已经改变 了。 即使个人猜想的真假是客观事实的问题，对它们的重要性进行排名也是一个主观的 社会过程。 在当今全球互联的世界中，这个过程看起来与 20 世纪 70 年代有很大不同 。 新榜单的故事就是这些变化的故事。 列表的开头 柯比自己的职业生涯始於一份问题清单。 1963 年，作为芝加哥大学的研究生，他参加了 在西雅图举行的一次会议，会上数学家 约翰·米尔诺 (John Milnor) 列出了拓扑学中七 个最重要的开放问题。 最後一个问题是环空猜想，它指出两个适当定义的球体之间的空 间始终呈现环空的形状，即两个同心圆之间的区域。 对於圆形和正常的三维球来说确实如此，但在更高的维度中——涉及五维或六维或任意数 量的球体对——令人惊讶的事情会发生。 1969 年，当柯比在加州大学洛杉矶分校担任助 理教授时，在考虑到一些限制（球体在特定数学意义上必须是光滑的）的情况下，证明了 该理论对於五维及更高维度是正确的。 根据这个结果，加州大学洛杉矶分校直接晋升为正教授，并将薪水翻倍。 两年後，他获 得了着名的 奥斯瓦尔德·维勃伦几何奖 。 柯比将职业生涯早期的成功部分归功於米尔 诺清单的存在，该清单为他提供了比他在研究生院从周围的人那里得到的更多种类的项目 可供选择。 「对於那些喜欢解决问题但不一定想做顾问告诉他们要做的事情的人来说，问题清单很有 价值，」他说。 1976 年 8 月，柯比在史丹佛大学举行的美国数学学会会议上开始整理他的第一个问题清 单。 在接下来的两年里，他透过电话、信件以及在参加的会议上与数学家的非正式交谈 建立了这份清单，并於 1978 年将其作为扩展期刊文章发表。 正如米勒所说，“他只是给他认识的每个人都打了电话。” 这份清单包含大约 80 个问题，分为五个章节。 前四章讨论一维结、二维表面以及三维 和四维流形（像球体表面这样的空间，局部看起来平坦，但可以具有更复杂的全局结构） 。 第五章是杂项问题。 尽管柯比广泛徵求意见才整理出这份清单，但最终的产品毫无疑 问是他的。 柯比说：“我更具包容性，而不是排他性。”但他补充道，“我几乎是最终的仲裁者。” 第二份名单 20 世纪 70 年代末是创建拓扑问题清单的好时机。 在本世纪初，这个领域规模很小，但 在接下来的十年里，它出现了爆炸性增长。 1981 年， 迈克尔·弗里德曼 (Michael Freedman) 解决了庞加莱猜想的四维版本，这是一个 具有里程碑意义的证明 需要数年时 间才能消化的 。 （猜想询问类似球体的数学物件是否一定是球体。弗里德曼证明，答案 是肯定的。）一年後，威廉瑟斯顿发表了几何化猜想，该猜想将一些拓扑结构分类为几何 类别。 这个猜想将分析（微积分的高阶形式）工具直接带入拓朴。 同年， 西蒙唐纳森 (Simon Donaldson) 在四维流形方面的工作将微分几何（结合了微积分和几何）引入了这 个领域。 「很难描述进展有多快。 这是数学史上最伟大的时期之一，一场又一场革命，」鲁伯曼 说。 所有这些活动的结果是，柯比的清单在几年之内就几乎过时了。 但建立问题清单并不是 柯比的主要工作。 直到 1993 年夏天在乔治亚大学举行的会议上，他才决定彻底修改这 份名单。 柯比开始在会议上收集问题，并透过电子邮件继续工作，当他整理第一个清单时，电子邮 件并不常用。 结果，这份名单变得越来越庞大。 最终清单包含415 个问题，并於1997 年作为一本书出版。第三个清单开始後，第二个项目被追溯称为K2，就像柯比清单的第二 个版本一样，也是对第二个清单的认可。- 世界上最高的山。 扩展的格式有助於巩固第 二版清单作为试金石和记分卡的地位。 解决柯比问题引起了年轻数学家的注意。 「如果你正在为某人写一封推荐信，并且他们已经解决了柯比问题，你就会在信中提到这 一点」参与研讨会并帮助编辑列表的波士顿数学院数学家John Baldwin 说。 参加研讨会的德国波昂马克斯普朗克数学研究所的小组组长阿鲁尼玛雷 (Arunima Ray) 表示，在她2011 年通过资格考试後，她的博士生导师做的第一件事就是给她一份K2 列表 的副本，“了解人们感兴趣的重大问题。” 当然，关於什麽是重要的决定取决於房间里做出这些决定的人。 柯比名单反映了一种源 自柯比社会政治世界观的教学哲学。 他将自己描述为古典自由主义者，并引用了 19 世 纪英国哲学家约翰·斯图尔特·密尔 (John Stuart Mill) 对其思想的重要影响。 「古典自由主义者确实相信自由、言论自由和政府的宽松政策，所以这就是我的观点，」 他说。 「在某种程度上，这与不告诉我的学生该做什麽是一致的。 这有点让他们自由发 挥。” 柯比将这些信念融入他思考和谈论数学界的方式。 2021 年，他与加州其他 1,000 多名 数学和科学专业人士共同签署了一封 公开信 ，批评该州采用新的K-12 数学课程的提议 ，该课程将使社会正义考虑成为该州发展方式的核心.教授该主题。 受到了 加州的提案 在数学界 相当多的批评，其中包括限制高级课程的提供，以及不强调微积分预科课程而 转而支持“数据科学”。 柯比历来对数学中是否存在结构性偏见持怀疑态度，包括该领域的性别失衡。1970年代大 约10%的数学家是女性；根据国际科学理事会2020年的报告，如今有近30%的人是这样的。 柯比在20世纪90年代在《美国数学会通知》上的一篇文章中表示，这些令人沮丧的数字并 不是该领域任何偏见的结果，该文章已提交 ，但从未发表。 柯比写道：「在我看来，数 学领域女性人数较少并不是因为男性的歧视，也不是女性天生的自卑，而是因为一个简单 的事实，即选择进入数学领域的男性多於女性。 」 对许多数学家来说，很少有女性进入这个领域的事实绝非一个简单的事实。 「有证据表 明，这里存在反馈效应：由於女教授太少，女学生无法透过数学看到清晰的职业道路，因 此她们决定不攻读博士学位，」四位着名女数学家写道2022 年 《 泰晤士报高等教育增 刊》。 正如国际科学理事会的报告所述，在分析了数十万篇已发表数学论文的数据集後 ，「各种结构性和系统性因素肯定以不同於男性的方式影响了女性数学家的职业生涯。” 柯比的观点在低维拓朴界众所周知。 我问柯比，他是否认为这会让女性更难参与像最近 他在会议上扮演重要角色的场合。 他说他不知道，因为除了一位数学家之外，没有人向 他提出过这个问题。 马克斯普朗克研究所性别平等官员雷说：「我不认为这影响了会议的感觉。 我确实认为 这塑造了人们对数学领域的看法，但我认为总的来说，我们确实将数学与数学家分开。” 共同努力 正如 K1 之後一样，低维拓扑在 K2 发布後迅速发展。 一项重大发展是塞伯格-维腾理论 的阐述，该理论利用物理学的想法来区分四维流形。 到 2000 年代末，星之卡比清单已 准备好再次更新。 「问题是，自 20 世纪 90 年代以来，这个领域变得更大，变得更大，」Baykur 说。 这次创建新清单的动力来自鲁伯曼和拜库尔。 他们在 2013 年左右开始收集问题。但在 他们的其他义务和大流行之间，直到 2023 年 10 月，他们才设法召集了一群拓扑学家亲 自会面。 他们希望清单的第三个版本更多是共同努力的成果。 「最初的清单很棒，我很高兴它在那里，但这种新格式值得称赞，因为它使它更加开放， 」雷说。 2022 年底，Kirby 与 Baykur 和 Ruberman 一起成为会议的联合组织者。 他们邀请了来 自低维拓扑主要领域的专家——与柯比在清单的早期版本中使用的相同的五章结构相对应 ——但试图避免邀请太多专家，以至於没有人与其他人有任何共同点。 拜库尔和鲁伯曼负责大部分组织工作，而柯比则承担了更多的名义角色。 「这有点像罗布的孩子，你知道，就像他在情感上负责一样。 但丹尼和伊南克负责所有 的後勤工作，」米勒说。 10 月 30 日星期一，该小组开始研究 K3 列表（之所以这样称呼，是因为显而易见的原 因，并且也参考了 K3 曲面，K3 曲面是拓扑中的重要对象）。 此清单反映了自 K2 以来低维拓扑的发展方式。 1990 年代初，Andreas Floer 的工作提 出了对三维流形进行排序的新方法。 到那个十年末，这些方法已经发展成为一个完整的 研究领域，Heegaard Floer 同调性，并且在该领域内现在有许多不同的方法来区分流形 。 这些方法应该都是一致的，但目前还不确定它们是否一致，K3 将包含旨在解决问题的 问题。 柯比在数学家们每天早上聚集的主报告厅紮营，大部分时间都避开了脑力激荡会议。 周 二上午， 普林斯顿大学的戴夫·加拜 (Dave Gabai) 向全组做了一场关於舍恩弗利斯猜 想和庞加莱猜想之间联系的讲座，这可以说是光滑四维拓扑中两个最重要的开放问题。 Schoenflies 猜想与 Kirby 在 20 世纪 60 年代研究的环空猜想具有相似的风格。 它预 测，如果两个球体在一维上存在差异（例如圆与球的表面），并且将低维球体（圆）嵌入 到高维球体（球的表面）中，则前者总是将後者切成相当於两个球的大小。 当你在地球 上蚀刻一个圆（就像形成赤道）时，这显然是正确的，但与环空猜想一样，在更高的维度 中，它的正确性不太明显。 随後卡比找到了加拜，两人就加拜谈话的意义聊了几个小时。 在本周的其他时间里，柯 比还花时间向他在数学社群的广泛网路发送电子邮件，寻求对该清单的贡献。 「在某些方面，这与他在之前的名单中所做的非常相似，」鲁伯曼说。“他不太愿意走 进房间。他会向人们发送电子邮件，说：’研讨会上有人这麽说，你对此有何看法？” 作战室 在会议的最後两天，拜库尔和鲁伯曼要求与会者写下他们整理的问题。 这感觉就像一个 作战室，数学家在回家之前匆匆写下他们解决的问题的摘要。 「这真的就像你在大学时的感觉，第二天你就要交作业，班上的每个人都在一个房间里， 而且现在是凌晨 2 点，」米勒说。 周四早上，数学家们编制清单的共享文件几乎是空的，但随着数十名数学家同时编辑，文 件数量迅速增加。 到周五，问题清单已超过 250 页。 与卡比之前的两次努力相比，这 次旋风经历几乎无法辨认。 「这让我感觉自己老了，因为当我参加K2时，我花了两到三年的时间。 我会和一个人坐下 来，我们一起写下问题，」柯比说。 “在 K3 中，我只遇到了少量问题。” 经过未参加帕萨迪纳会议的拓扑学家的修改和补充，Baykur 和 Ruberman 希望在今年年 底之前发布约 400 个问题的清单。 Baykur、Ruberman 和其他编辑仍在争论更新清单的 频率。 他们可以透过保持线上版本最新来延长 K3 的保质期，但他们看到这样做的缺点 。 Baykur 说，前两个清单「是历史文献，了解他们如何看待 20 世纪 70 年代和 1990 年代的事物以及他们如何思考数学，资讯量非常大。 我想要一份类似的当代文献。” --

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