作者hiu (閉門造愛)
看板Math
標題[中學] 三角函數
時間Fri Feb 2 17:35:39 2024
題目:
鈍角三角形ABC 其中角C為鈍角
BC邊長為1 AC邊長為 根號2
求sinA的範圍
我計算出來的答案是: 0 < sinA < 根號3分之1
我用兩種方法來算
第一種方法是畫圖來想
既然角C是鈍角 當角C極度接近90度的時候 此時角A最大
若姑且把角C當成直角 此時可很簡單的由畢氏定理算得sinA=根號3分之1
再加上角A一定大於0度 所以sinA>0
綜合上述 可知 0 < sinA < 根號3分之1
第二種方法
先令角C的對邊邊長為x (利用餘弦定理 可得x^2的範圍為: 3 < x^2 < 3 加 2根號2 )
接著再利用餘弦定理的計算 可把sinA寫成x的函數
即sinA= [ (-x^4 + 6x^2 - 1)/ 8x^2 ] ^0.5
把sinA對x作微分 可求得 0 < sinA < 根號3分之1
但上面這兩種方法
第一種方法感覺很直觀 卻不嚴謹
第二種計算太麻煩
想請問有沒有其他利用三角函數計算(例如疊合之類的)的算法
來求這一題呢?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.21.221 (臺灣)
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1F：推 deathcustom : 第一種哪裡不嚴謹？嚴格遞增、極限證明上界 02/02 17:48
請問要怎麼證明: 隨著角C的角度越小時 角A會越大?
※ 編輯: hiu (1.160.21.221 臺灣), 02/02/2024 19:30:48
2F：→ musicbox810 : 嚴格遞增、極限？確定這是第一種作法? 02/02 19:53
3F：推 deathcustom : 角C角度越大，角A角度越小，證明如下 02/02 22:54
4F：→ deathcustom : 考慮三角形ABC外接圓，角A、角B、角C分別為圓周角 02/02 22:55
5F：→ deathcustom : 根據定理，圓周角角度=所對弧角度/2 02/02 22:55
6F：推 deathcustom : 並根據正弦sinA/sinB = BC/AC =定值 02/02 23:08
7F：→ deathcustom : 因此角A與角B的sin值只能同增或同減 02/02 23:08
8F：→ deathcustom : 角C增加=>角A與角B對應弧之和減少, vice versa 02/02 23:09
9F：推 deathcustom : 由上述可以推得sinA與sinB極大值出現在C 90度 02/02 23:12
10F：→ musicbox810 : C增大，A+B減小，A<B，但是A:B並不是定值，能夠推出 02/03 00:47
11F：→ musicbox810 : A嚴格遞減嗎?有點怪怪的，中間是不是還有東西沒證? 02/03 00:48
12F：→ musicbox810 : 還有圓周角性質有用到嗎?當C改變，外接圓也會變 02/03 00:50
13F：推 deathcustom : C改變外接圓改變，但是C的對應弧AB變大，弧BC+弧AC 02/03 06:57
14F：→ deathcustom : 就會變小，又由於sinA/sinB是定值，因此只能同增同 02/03 06:58
15F：→ deathcustom : 減，考慮弧AC+弧BC的和在角C(從90度)漸增的狀況下是 02/03 06:59
16F：推 deathcustom : 嚴格遞減，sin函數(sinA,sinB)在(0,90)是單調增函數 02/03 07:02
18F：→ Starvilo : gur.com/PQw5zKu.jpg 02/03 08:22
19F：推 Starvilo : 最後面為*<* 02/03 09:04
20F：→ Starvilo : 1/2（1*sqr2)sinc <1/2(1*sqr2) 02/03 09:06
22F：→ musicbox810 : 我好像懂了，謝謝 02/03 19:17