作者hiu (闭门造爱)
看板Math
标题[中学] 三角函数
时间Fri Feb 2 17:35:39 2024
题目:
钝角三角形ABC 其中角C为钝角
BC边长为1 AC边长为 根号2
求sinA的范围
我计算出来的答案是: 0 < sinA < 根号3分之1
我用两种方法来算
第一种方法是画图来想
既然角C是钝角 当角C极度接近90度的时候 此时角A最大
若姑且把角C当成直角 此时可很简单的由毕氏定理算得sinA=根号3分之1
再加上角A一定大於0度 所以sinA>0
综合上述 可知 0 < sinA < 根号3分之1
第二种方法
先令角C的对边边长为x (利用余弦定理 可得x^2的范围为: 3 < x^2 < 3 加 2根号2 )
接着再利用余弦定理的计算 可把sinA写成x的函数
即sinA= [ (-x^4 + 6x^2 - 1)/ 8x^2 ] ^0.5
把sinA对x作微分 可求得 0 < sinA < 根号3分之1
但上面这两种方法
第一种方法感觉很直观 却不严谨
第二种计算太麻烦
想请问有没有其他利用三角函数计算(例如叠合之类的)的算法
来求这一题呢?
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.160.21.221 (台湾)
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1F：推 deathcustom : 第一种哪里不严谨？严格递增、极限证明上界 02/02 17:48
请问要怎麽证明: 随着角C的角度越小时 角A会越大?
※ 编辑: hiu (1.160.21.221 台湾), 02/02/2024 19:30:48
2F：→ musicbox810 : 严格递增、极限？确定这是第一种作法? 02/02 19:53
3F：推 deathcustom : 角C角度越大，角A角度越小，证明如下 02/02 22:54
4F：→ deathcustom : 考虑三角形ABC外接圆，角A、角B、角C分别为圆周角 02/02 22:55
5F：→ deathcustom : 根据定理，圆周角角度=所对弧角度/2 02/02 22:55
6F：推 deathcustom : 并根据正弦sinA/sinB = BC/AC =定值 02/02 23:08
7F：→ deathcustom : 因此角A与角B的sin值只能同增或同减 02/02 23:08
8F：→ deathcustom : 角C增加=>角A与角B对应弧之和减少, vice versa 02/02 23:09
9F：推 deathcustom : 由上述可以推得sinA与sinB极大值出现在C 90度 02/02 23:12
10F：→ musicbox810 : C增大，A+B减小，A<B，但是A:B并不是定值，能够推出 02/03 00:47
11F：→ musicbox810 : A严格递减吗?有点怪怪的，中间是不是还有东西没证? 02/03 00:48
12F：→ musicbox810 : 还有圆周角性质有用到吗?当C改变，外接圆也会变 02/03 00:50
13F：推 deathcustom : C改变外接圆改变，但是C的对应弧AB变大，弧BC+弧AC 02/03 06:57
14F：→ deathcustom : 就会变小，又由於sinA/sinB是定值，因此只能同增同 02/03 06:58
15F：→ deathcustom : 减，考虑弧AC+弧BC的和在角C(从90度)渐增的状况下是 02/03 06:59
16F：推 deathcustom : 严格递减，sin函数(sinA,sinB)在(0,90)是单调增函数 02/03 07:02
18F：→ Starvilo : gur.com/PQw5zKu.jpg 02/03 08:22
19F：推 Starvilo : 最後面为*<* 02/03 09:04
20F：→ Starvilo : 1/2（1*sqr2)sinc <1/2(1*sqr2) 02/03 09:06
22F：→ musicbox810 : 我好像懂了，谢谢 02/03 19:17