作者DreamYeh (天使)
看板Math
標題[中學] 成大入學題 四個實根證明b
時間Mon Jan 29 22:53:25 2024
題目出自成大數學系112年學士班申請入學
數學科筆試，其他各題目都能解很快，這一題不知為什麼卡住
題目：
設a, b為實數，且x^4 - 4x^2 + ax + b = 0 有四個實根
試證明：|b| <=2
我的證明法（非解答，僅供參考）
原式可寫為
(x^2 + sx + t ) (x^2+ ux +v)
其中s, t, u, v都是實數
又由三次項可得 s + u = 0 以此簡化原式為
(x^2 + sx + t ) (x^2 -sx +v)
二次項可得 -s^2 + t + v = -4
常數項可得 tv = b
一開始想動用算術幾何不等式，但那要t,v都>0才行
可去想 b = tv <= (t^2+v^2 + 2tv)/4 （移向可得 (t-v)^2 >0 這在實數皆成立 )
b <= (t+v)^2/4 = (-4+s^2)^2 / 4 = (4-s^2)^2 / 4 < (4)^2 / 4 = 4
因此|b| <= 4
然而這想法又感覺蠻繞，而且最後居然是證明<=4而非題目說的<=2
因此詢問是否有更簡潔易懂且嚴謹的證明
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1F：推 inch01742 : 你把題目改成x^4-4x^2=-ax-b，相信就會明白了 01/29 23:12
2F：推 inch01742 : 不過這樣看起來應該是|b|<=4 01/29 23:18
3F：推 Bugquan : 用韋達定理吧 01/29 23:54
4F：推 Vulpix : 是啊，四根平方和是8。後面就接算幾了。 01/30 02:15
5F：→ DreamYeh : 感謝 不過無論從一樓圖形解、韋達到算幾、我的算法 01/30 08:00
6F：→ DreamYeh : 看來都要改成 證明|b|<=4了？也就是題目有誤？ 01/30 08:02
※ 編輯: DreamYeh (122.116.174.47 臺灣), 01/30/2024 09:58:58
7F：推 Vulpix : 2是不可能的。a=0、b=4就有四個實根了。 01/30 10:43