作者DreamYeh (天使)
看板Math
标题[中学] 成大入学题 四个实根证明b
时间Mon Jan 29 22:53:25 2024
题目出自成大数学系112年学士班申请入学
数学科笔试，其他各题目都能解很快，这一题不知为什麽卡住
题目：
设a, b为实数，且x^4 - 4x^2 + ax + b = 0 有四个实根
试证明：|b| <=2
我的证明法（非解答，仅供参考）
原式可写为
(x^2 + sx + t ) (x^2+ ux +v)
其中s, t, u, v都是实数
又由三次项可得 s + u = 0 以此简化原式为
(x^2 + sx + t ) (x^2 -sx +v)
二次项可得 -s^2 + t + v = -4
常数项可得 tv = b
一开始想动用算术几何不等式，但那要t,v都>0才行
可去想 b = tv <= (t^2+v^2 + 2tv)/4 （移向可得 (t-v)^2 >0 这在实数皆成立 )
b <= (t+v)^2/4 = (-4+s^2)^2 / 4 = (4-s^2)^2 / 4 < (4)^2 / 4 = 4
因此|b| <= 4
然而这想法又感觉蛮绕，而且最後居然是证明<=4而非题目说的<=2
因此询问是否有更简洁易懂且严谨的证明
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1F：推 inch01742 : 你把题目改成x^4-4x^2=-ax-b，相信就会明白了 01/29 23:12
2F：推 inch01742 : 不过这样看起来应该是|b|<=4 01/29 23:18
3F：推 Bugquan : 用韦达定理吧 01/29 23:54
4F：推 Vulpix : 是啊，四根平方和是8。後面就接算几了。 01/30 02:15
5F：→ DreamYeh : 感谢 不过无论从一楼图形解、韦达到算几、我的算法 01/30 08:00
6F：→ DreamYeh : 看来都要改成 证明|b|<=4了？也就是题目有误？ 01/30 08:02
※ 编辑: DreamYeh (122.116.174.47 台湾), 01/30/2024 09:58:58
7F：推 Vulpix : 2是不可能的。a=0、b=4就有四个实根了。 01/30 10:43