※ 引述《hexjacal (黑麻糬)》之銘言： : 標題: [線代] SVD特徵值與線性轉換 : 時間: Sun Dec 17 16:36:31 2023 : : 各位大大~ : 最近在閱讀隨機過程的論文 : Gökdere, G., & Tony Ng, H. K. (2022). Time-dependent reliability analysis : for repairable consecutive-k-out-of-n: F system. Statistical Theory and : Related Fields, 6(2), 139-147. : 看到了一個跟SVD還有線性轉換有關的概念 : : 假設 T, Q 都是 3x3 方陣，已知 : (1) Q 的最後一個橫列全0 : (2) Q 奇異值分解後 Q = U*S*V，其中S是對角特徵值矩陣 diag(s[1],s[2],0) : (3) T 矩陣是時間變數 t 的函數，滿足 dT/dt=T*Q : : 作者在 Section 3. Proposed method 中 : 根據 (3) 推知 T=exp(Qt)=exp(U*S*Vt) 說了一句 : consider the linear transformation of : 3-dimensional vectors defined by matrix Q : 就接 : 「T 矩陣的元素 Tij 可以表示成 a0+a1*exp(s[1]t)+a2*exp(s[2]t) 的形式」 : : 個人不解的是，從 SVD 分解之後，是怎麼得到「...」裡面的推論結果的? : 個人不是很清楚，希望有先進可以解惑，感謝~ : : -- :

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 125.227.176.241 (臺灣) : ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1702802195.A.033.html : ※ 編輯: hexjacal (140.113.58.95 臺灣), 12/19/2023 15:33:47 : 推 xxxl1 : 主要看Q有沒有辦法對角化吧 12/19 17:23 去找了這篇paper來看, 超級怪 https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/24754269.2021.1971489 (1) T(t)=exp(Qt) 是 dT(t)/dt=Q*T(t) 的解, 並不是paper中的dT(t)/dt=T(t)*Q的解 這邊我先當他可交換或是其實就是dT(t)/dt=Q*T(t) 再來其實dT(t)/dt=Q*T(t)的通解是T(t) = exp(Qt)*C, some C€M_nxn(R) (你這篇的n=3), 其中C由初始值決定. paper直接當作C=I, 單位矩陣, 這也先不管 (2) 他把Q做SVD並不能把T(t)=exp(Qt)寫成你原問作的形式, 要有這形式是需要可對角化 即若Q可對角化, 存在可逆P使得P^-1*Q*P = D, diagonal matrix 則T(t)=exp(Qt)= P*exp(Dt)*P^-1, 其中exp(Dt)展開就是那個漂亮的形式 若不可對角化則是用Jordan form, 但是一旦不可對角化, 寫出來的解形式 就會是(c_0+c_1*t+...)*exp(λt)這種形式, 即變數t會到exp外面 不可能是你原問中的漂亮形式 因此我懷疑他的Q是可對角化, 但是看一下他的條件跟例子, Q都是上三角 但是上三角並沒有保證可對角化, 而且Q也不是實對稱矩陣, 也因此不能保證可對角化 (3) 看他的實際Q例子, 5x5的矩陣Q, λ=0.5, μ=1.5那個 他說σ_1~σ_4是非零的eigenvlaue....... 可是他上面明明說是SVD的singular value... 注意SVD的值叫作singular value, 對角化的值叫作eigenvalue 阿到底是singular還是eigen... 注意到sigular value非負, 但是他的σ_1~σ_4全部都是負的.... 再假設他把整個SVD的singular value都成以負號 我直接用計算軟體看這個Q矩陣的singular跟eigen, 沒有一組數字是他paper這組... https://i.imgur.com/cfmj7Or.png 總之, 要馬我key錯數字(我檢查三次了), 但是即便我key錯, 上述(1)跟(2)還是有問題 因此要馬他寫錯, 要馬就是有其他假設跟我不知道的定理 如果有正確推導再請原PO分享 --

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