※ 引述《hexjacal (黑麻糬)》之铭言： : 标题: [线代] SVD特徵值与线性转换 : 时间: Sun Dec 17 16:36:31 2023 : : 各位大大~ : 最近在阅读随机过程的论文 : Gökdere, G., & Tony Ng, H. K. (2022). Time-dependent reliability analysis : for repairable consecutive-k-out-of-n: F system. Statistical Theory and : Related Fields, 6(2), 139-147. : 看到了一个跟SVD还有线性转换有关的概念 : : 假设 T, Q 都是 3x3 方阵，已知 : (1) Q 的最後一个横列全0 : (2) Q 奇异值分解後 Q = U*S*V，其中S是对角特徵值矩阵 diag(s[1],s[2],0) : (3) T 矩阵是时间变数 t 的函数，满足 dT/dt=T*Q : : 作者在 Section 3. Proposed method 中 : 根据 (3) 推知 T=exp(Qt)=exp(U*S*Vt) 说了一句 : consider the linear transformation of : 3-dimensional vectors defined by matrix Q : 就接 : 「T 矩阵的元素 Tij 可以表示成 a0+a1*exp(s[1]t)+a2*exp(s[2]t) 的形式」 : : 个人不解的是，从 SVD 分解之後，是怎麽得到「...」里面的推论结果的? : 个人不是很清楚，希望有先进可以解惑，感谢~ : : -- :

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 125.227.176.241 (台湾) : ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1702802195.A.033.html : ※ 编辑: hexjacal (140.113.58.95 台湾), 12/19/2023 15:33:47 : 推 xxxl1 : 主要看Q有没有办法对角化吧 12/19 17:23 去找了这篇paper来看, 超级怪 https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/24754269.2021.1971489 (1) T(t)=exp(Qt) 是 dT(t)/dt=Q*T(t) 的解, 并不是paper中的dT(t)/dt=T(t)*Q的解 这边我先当他可交换或是其实就是dT(t)/dt=Q*T(t) 再来其实dT(t)/dt=Q*T(t)的通解是T(t) = exp(Qt)*C, some C€M_nxn(R) (你这篇的n=3), 其中C由初始值决定. paper直接当作C=I, 单位矩阵, 这也先不管 (2) 他把Q做SVD并不能把T(t)=exp(Qt)写成你原问作的形式, 要有这形式是需要可对角化 即若Q可对角化, 存在可逆P使得P^-1*Q*P = D, diagonal matrix 则T(t)=exp(Qt)= P*exp(Dt)*P^-1, 其中exp(Dt)展开就是那个漂亮的形式 若不可对角化则是用Jordan form, 但是一旦不可对角化, 写出来的解形式 就会是(c_0+c_1*t+...)*exp(λt)这种形式, 即变数t会到exp外面 不可能是你原问中的漂亮形式 因此我怀疑他的Q是可对角化, 但是看一下他的条件跟例子, Q都是上三角 但是上三角并没有保证可对角化, 而且Q也不是实对称矩阵, 也因此不能保证可对角化 (3) 看他的实际Q例子, 5x5的矩阵Q, λ=0.5, μ=1.5那个 他说σ_1~σ_4是非零的eigenvlaue....... 可是他上面明明说是SVD的singular value... 注意SVD的值叫作singular value, 对角化的值叫作eigenvalue 阿到底是singular还是eigen... 注意到sigular value非负, 但是他的σ_1~σ_4全部都是负的.... 再假设他把整个SVD的singular value都成以负号 我直接用计算软体看这个Q矩阵的singular跟eigen, 没有一组数字是他paper这组... https://i.imgur.com/cfmj7Or.png 总之, 要马我key错数字(我检查三次了), 但是即便我key错, 上述(1)跟(2)还是有问题 因此要马他写错, 要马就是有其他假设跟我不知道的定理 如果有正确推导再请原PO分享 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.230.163.164 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1702987111.A.D1C.html ※ 编辑: znmkhxrw (36.230.163.164 台湾), 12/19/2023 20:03:04