※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言： : 設a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8為8個嚴格遞增的正整數 : 且集合 {|ai-aj| : 1≦ i,j ≦ 8 && i≠j} 為18個連續正整數組成的集合 : 求a7 - a2 = ? : 原題圖片支援： : https://i.imgur.com/ehmC891.jpeg : （我有求出一些數列合乎條件，但不知有否通解，如a1~an其中 : 若干項的差構成m個連續正整數集合） 賺批幣的時間來囉！記得看到最後 說明一下本題在我的分析，歡迎做數學研究，更歡迎討論 首先出處為 斗六高中舉辦的綠城盃數學競賽 107年考題 https://drive.google.com/file/d/18xvLChD9cRWT2wmfOoBqrCn9jTwdfFMc/view 填充題第二題 首先應該大家都可輕易找出一個簡單分析： 如果a1,a2,a3.....a8是一組合乎題意的解 則a1+m, a2+m, a3+m,. .... ,a8+m （m為任意整數） 也會是一組解 （因為計算的判定都是|ai-aj|） 因此在以下各組解中，不失一般性假設a0=1 這樣的假設可幫助我們更簡單分析規律性 最開始我做這一題，很簡單就從「連續數列與等差級數」來求解 很簡單可找到公差為5的狀況： (5a+1 case) a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5 a6=11 a7=16 a8=19 簡單證明他的|ai-aj|包含連續正整數1~18 1=2-1 2=3-1 3=4-1 4=5-1 5=16-11 6~10=11 - 5,4,3,2,1 11~15=16 - 5,4,3,2,1 16~18=19 - 2,1 （容易看出，要挑選到差為1-20也很簡單，令a8=21即可，這也是原先的公差） 因此a7-a2=16-2 = 14(#) =================以為得解其實還沒完呢分隔線======================== 然而對照答案，發現竟然不對！！！ 這時我矇了～ 這可是數學競賽題目呀！解答怎會有錯？一定是我出錯！ 但回來怎麼看也覺得我得到的數列合乎題意。 這....難道有第二組解？ 我們立刻回來看！剛剛公差設為5，可不可能有4呢？ 答案是.....有的 解答立即寫為 a1~a8 (4a+1 case) a1=1,a2=2,a3=3,a4=4 a5=9 a6=13 a7=17 a8=19 要證明|ai-aj|包含1-18正整數也完全相似 1~3用4和3,2,1去減 4=13-9 5~8用9和4,3,2,1去減 9~12用13和4,3,2,1去減 13~16用17和4,3,2,1去減 17=19-2 18=19-1 (也同樣改一下a8就可以湊出17~20、這邊是為了合乎題意) 在這情況下，a7-a2=17-2=15 這就是原本題目給的答案了 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝但還是沒完＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 還有沒有其他組解？ 使用公差3可得以下這組解 a1~a8 (3a+1 case) a1=1,a2=2,a3=3 a4=7 a5=10 a6=13 a7=16 a8=19 證明 |ai-aj|可得1~18的方法類似，因此不再證明 這也顯然是一組無法反駁的解，a7-a2 = 14 ＝＝＝＝＝＝＝怎會這樣分隔線＝＝＝＝＝＝＝ 之後為避免我弄錯題目，因此我有將這一題給一個數學系高手解 他用的思路跟我不同，最後得出以下兩組解 1 2 3 4 5 11 16 19 1 2 3 4 5 10 15 19 很遺憾的a7-a2也一樣有不同可能，14 or 13! 因此可得，這一題數學競賽命題，是個有瑕疵的命題！ 他同時有不同解答，且難以反駁哪一個是對的。 不排除印刷錯誤的可能，但以目前線索，確實得到此結論 ＝＝＝＝＝＝＝＝延伸思考＝＝＝＝＝＝＝＝ （挑戰！） 1.有沒有可能僅用七個數a1,a2,....,a7 得到與原題目條件相同的數列？ 也就是|ai-aj| 包括 1-18的不同組合？ 這邊先簡單排列組合一下，C7取2，可以有21種挑選ai,aj 的方法 但是否能順利排出1到18不同的數？ 目前找不到解答、但也無法證明辦不到 以下給個嘗試失敗的數列： {1,2,4,7,11,15,19} (差為12排不出來、其餘1～18都排得出) 這一題解出者(或證明辦不到)，懸賞500批幣 2.給8個數字，{a1,a2,.......a8} 排出|ai-aj|=1～28的變化 也就是認定原本題目為印刷錯誤，因此問是否真有這種可能？ 由於C8取2為28，最多就是28種差值變化，但你排看看就知道， 目前個人嘗試最多的變化就是前面提到的 1,2,3,4,5,11,16,21，任兩個數差值所構成的集合， 恰好為1到20的連續正整數序列 你是否能排出更大的連續整數（例如1到25、甚至1到28）呢？ （同樣懸賞500） --

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