※ 引述《DreamYeh (天使)》之铭言： : 设a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8为8个严格递增的正整数 : 且集合 {|ai-aj| : 1≦ i,j ≦ 8 && i≠j} 为18个连续正整数组成的集合 : 求a7 - a2 = ? : 原题图片支援： : https://i.imgur.com/ehmC891.jpeg : （我有求出一些数列合乎条件，但不知有否通解，如a1~an其中 : 若干项的差构成m个连续正整数集合） 赚批币的时间来罗！记得看到最後 说明一下本题在我的分析，欢迎做数学研究，更欢迎讨论 首先出处为 斗六高中举办的绿城盃数学竞赛 107年考题 https://drive.google.com/file/d/18xvLChD9cRWT2wmfOoBqrCn9jTwdfFMc/view 填充题第二题 首先应该大家都可轻易找出一个简单分析： 如果a1,a2,a3.....a8是一组合乎题意的解 则a1+m, a2+m, a3+m,. .... ,a8+m （m为任意整数） 也会是一组解 （因为计算的判定都是|ai-aj|） 因此在以下各组解中，不失一般性假设a0=1 这样的假设可帮助我们更简单分析规律性 最开始我做这一题，很简单就从「连续数列与等差级数」来求解 很简单可找到公差为5的状况： (5a+1 case) a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5 a6=11 a7=16 a8=19 简单证明他的|ai-aj|包含连续正整数1~18 1=2-1 2=3-1 3=4-1 4=5-1 5=16-11 6~10=11 - 5,4,3,2,1 11~15=16 - 5,4,3,2,1 16~18=19 - 2,1 （容易看出，要挑选到差为1-20也很简单，令a8=21即可，这也是原先的公差） 因此a7-a2=16-2 = 14(#) =================以为得解其实还没完呢分隔线======================== 然而对照答案，发现竟然不对！！！ 这时我蒙了～ 这可是数学竞赛题目呀！解答怎会有错？一定是我出错！ 但回来怎麽看也觉得我得到的数列合乎题意。 这....难道有第二组解？ 我们立刻回来看！刚刚公差设为5，可不可能有4呢？ 答案是.....有的 解答立即写为 a1~a8 (4a+1 case) a1=1,a2=2,a3=3,a4=4 a5=9 a6=13 a7=17 a8=19 要证明|ai-aj|包含1-18正整数也完全相似 1~3用4和3,2,1去减 4=13-9 5~8用9和4,3,2,1去减 9~12用13和4,3,2,1去减 13~16用17和4,3,2,1去减 17=19-2 18=19-1 (也同样改一下a8就可以凑出17~20、这边是为了合乎题意) 在这情况下，a7-a2=17-2=15 这就是原本题目给的答案了 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝但还是没完＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 还有没有其他组解？ 使用公差3可得以下这组解 a1~a8 (3a+1 case) a1=1,a2=2,a3=3 a4=7 a5=10 a6=13 a7=16 a8=19 证明 |ai-aj|可得1~18的方法类似，因此不再证明 这也显然是一组无法反驳的解，a7-a2 = 14 ＝＝＝＝＝＝＝怎会这样分隔线＝＝＝＝＝＝＝ 之後为避免我弄错题目，因此我有将这一题给一个数学系高手解 他用的思路跟我不同，最後得出以下两组解 1 2 3 4 5 11 16 19 1 2 3 4 5 10 15 19 很遗憾的a7-a2也一样有不同可能，14 or 13! 因此可得，这一题数学竞赛命题，是个有瑕疵的命题！ 他同时有不同解答，且难以反驳哪一个是对的。 不排除印刷错误的可能，但以目前线索，确实得到此结论 ＝＝＝＝＝＝＝＝延伸思考＝＝＝＝＝＝＝＝ （挑战！） 1.有没有可能仅用七个数a1,a2,....,a7 得到与原题目条件相同的数列？ 也就是|ai-aj| 包括 1-18的不同组合？ 这边先简单排列组合一下，C7取2，可以有21种挑选ai,aj 的方法 但是否能顺利排出1到18不同的数？ 目前找不到解答、但也无法证明办不到 以下给个尝试失败的数列： {1,2,4,7,11,15,19} (差为12排不出来、其余1～18都排得出) 这一题解出者(或证明办不到)，悬赏500批币 2.给8个数字，{a1,a2,.......a8} 排出|ai-aj|=1～28的变化 也就是认定原本题目为印刷错误，因此问是否真有这种可能？ 由於C8取2为28，最多就是28种差值变化，但你排看看就知道， 目前个人尝试最多的变化就是前面提到的 1,2,3,4,5,11,16,21，任两个数差值所构成的集合， 恰好为1到20的连续正整数序列 你是否能排出更大的连续整数（例如1到25、甚至1到28）呢？ （同样悬赏500） --

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