作者hau (小豪)
看板Math
標題Re: [代數] 一題倍數的問題
時間Sun Nov 5 20:09:12 2023
※ 引述《cmrafsts (喵喵)》之銘言：
: : 推 GameKnight : 取k=1~59共59項，可視為C(89,k)全部二項展開中刪除 09/05 18:03
: : → GameKnight : 所有3倍數項而得 09/05 18:03
: : → GameKnight : 有些數字沒湊好，我再想一下。 09/05 18:57
: 差不多是這樣沒錯。
: 在 Z/89^2Z 中
: C(89,k)=89C(88,k-1)/k = (-1)^(k-1)89/k.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
您這裡，k=3 時，C(88,2)=3828 in Z/89^2Z 不等於 (-1)^2 = 1 in Z/89^2Z
我是不是誤解您的意思，或者是您用了什麼定理？
: 又
: C(89,3k) = 89C(88,3k-1)/3k = 1/3 (-1)^(k-1)89/k = 1/3 C(89,k) = 1/3 C(89,89-k)
: 故所求為
: C(89,1)+...+ C(89,88)-3(C(89,3)+...+C(89,87)).
: 設 f(x)=(1+x)^89-1-x^89, w 為三次 primitive root of unity。上式為
: f(1) - ( f(1) + f(w) + f(w^2) ) = -( f(w) + f(w^2) ).
: 設 a = w+1。其滿足 a^2 = w 與 a^2-a+1 = 0.
: f(w) = a^89 - (a^2)^89 - 1 = a^(-1) - a^(-2) -1 = -a^(-2)(a^2-a+1) = 0
: 故 f(w^2) 亦為 0。所求在 Z/89^2Z 中為0。
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