作者hau (小豪)
看板Math
标题Re: [代数] 一题倍数的问题
时间Sun Nov 5 20:09:12 2023
※ 引述《cmrafsts (喵喵)》之铭言：
: : 推 GameKnight : 取k=1~59共59项，可视为C(89,k)全部二项展开中删除 09/05 18:03
: : → GameKnight : 所有3倍数项而得 09/05 18:03
: : → GameKnight : 有些数字没凑好，我再想一下。 09/05 18:57
: 差不多是这样没错。
: 在 Z/89^2Z 中
: C(89,k)=89C(88,k-1)/k = (-1)^(k-1)89/k.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
您这里，k=3 时，C(88,2)=3828 in Z/89^2Z 不等於 (-1)^2 = 1 in Z/89^2Z
我是不是误解您的意思，或者是您用了什麽定理？
: 又
: C(89,3k) = 89C(88,3k-1)/3k = 1/3 (-1)^(k-1)89/k = 1/3 C(89,k) = 1/3 C(89,89-k)
: 故所求为
: C(89,1)+...+ C(89,88)-3(C(89,3)+...+C(89,87)).
: 设 f(x)=(1+x)^89-1-x^89, w 为三次 primitive root of unity。上式为
: f(1) - ( f(1) + f(w) + f(w^2) ) = -( f(w) + f(w^2) ).
: 设 a = w+1。其满足 a^2 = w 与 a^2-a+1 = 0.
: f(w) = a^89 - (a^2)^89 - 1 = a^(-1) - a^(-2) -1 = -a^(-2)(a^2-a+1) = 0
: 故 f(w^2) 亦为 0。所求在 Z/89^2Z 中为0。
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