※ 引述《choun (原來跑步這麼舒服)》之銘言： : https://imgur.com/a/4P3sxIF : 第一張圖是上上週在這裡問過大大們的，有Starvilo、Vulpix、deathcustom 等大大 : 給了許多好方法算出來答案，萬能k法、分母化型的算幾~~ 謝謝大大們 : 最後是由 deathcustom大大發現此四點共圓的觀察！ : ====== : 第二張圖其實也是我之前問過大大們的，可能是幾個月前吧… : 我後來回去看才發現根本是同一題，這次我用四點共圓的方式來做！簡單明瞭！ : 酷~~~ : ====== : 但是我完全證明不出來，為什麼P點跟ABB' (或BAA') 共圓時，兩線段的比例會有 : 極值… 想了一個星期了… 還是想不出來… : 所以整理一下兩題的題目跟細節想請大大們有空幫忙給點線索！！ : 謝謝！！！ 不需要特別提到B對L的對稱點B'，否則為何不提A對L的對稱點B'？ 這個問題本來就是對L對稱的，ABB'A'四點共圓也是必然的。 且那已經隱含直線L是△ABB'的BB'的中垂線，必過圓心 我們要證明的是以下命題： 直線L的一側有點A、點B，過該二點且圓心V在直線L上的圓交L於T、S， 靠近A的T是PA/PB的極小值，靠近B的S為是PA/PB的極大值。 證明： 這邊只需要證明T的部分，因為另一部分仿照流程做就好。 在AB的A側做阿波羅尼奧斯圓O，當該圓與直線L相切於W時有PA/PB極小值 = m/n 這邊要特別注意極小值 < 1，極大值 > 1，所以m/n =/= 1 令AB = d，圓O交AB於D。則AD : DB = m : n 利用阿波羅尼奧斯圓本身的定義，可計算出其半徑R = mnd/(n^2 - m^2) OA = [d/(n^2 - m^2)]m^2 ，OB = [d/(n^2 - m^2)]n^2 => OA * OB = R^2 設W在圓外，O對圓V做靠近W這一側的切線，其切點W'必在直線L的另一側 => OW' > OW，矛盾 設W在圓內，O對圓V做靠近W這一側的切線，其切點W'，OW' = OW 過W'做垂直OW'的直線L'會交直線L於W遠離圓V的外側，就是與圓O圓心的相反側，矛盾！ 這個證法至少有兩種，請自行練習。 所以W在圓V上 => W = T 原命題得證！ --

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