※ 引述《choun (原来跑步这麽舒服)》之铭言： : https://imgur.com/a/4P3sxIF : 第一张图是上上周在这里问过大大们的，有Starvilo、Vulpix、deathcustom 等大大 : 给了许多好方法算出来答案，万能k法、分母化型的算几~~ 谢谢大大们 : 最後是由 deathcustom大大发现此四点共圆的观察！ : ====== : 第二张图其实也是我之前问过大大们的，可能是几个月前吧… : 我後来回去看才发现根本是同一题，这次我用四点共圆的方式来做！简单明了！ : 酷~~~ : ====== : 但是我完全证明不出来，为什麽P点跟ABB' (或BAA') 共圆时，两线段的比例会有 : 极值… 想了一个星期了… 还是想不出来… : 所以整理一下两题的题目跟细节想请大大们有空帮忙给点线索！！ : 谢谢！！！ 不需要特别提到B对L的对称点B'，否则为何不提A对L的对称点B'？ 这个问题本来就是对L对称的，ABB'A'四点共圆也是必然的。 且那已经隐含直线L是△ABB'的BB'的中垂线，必过圆心 我们要证明的是以下命题： 直线L的一侧有点A、点B，过该二点且圆心V在直线L上的圆交L於T、S， 靠近A的T是PA/PB的极小值，靠近B的S为是PA/PB的极大值。 证明： 这边只需要证明T的部分，因为另一部分仿照流程做就好。 在AB的A侧做阿波罗尼奥斯圆O，当该圆与直线L相切於W时有PA/PB极小值 = m/n 这边要特别注意极小值 < 1，极大值 > 1，所以m/n =/= 1 令AB = d，圆O交AB於D。则AD : DB = m : n 利用阿波罗尼奥斯圆本身的定义，可计算出其半径R = mnd/(n^2 - m^2) OA = [d/(n^2 - m^2)]m^2 ，OB = [d/(n^2 - m^2)]n^2 => OA * OB = R^2 设W在圆外，O对圆V做靠近W这一侧的切线，其切点W'必在直线L的另一侧 => OW' > OW，矛盾 设W在圆内，O对圆V做靠近W这一侧的切线，其切点W'，OW' = OW 过W'做垂直OW'的直线L'会交直线L於W远离圆V的外侧，就是与圆O圆心的相反侧，矛盾！ 这个证法至少有两种，请自行练习。 所以W在圆V上 => W = T 原命题得证！ --

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