※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之銘言： : ※ 引述《yuyuyuai (>0<)》之銘言： : : https://i.imgur.com/Mzx3qyQ.jpg 承前, 只討論(b) 結論: 需要對X_n的定義域加上"測度有限"的限制才會是對的 測度有限這個條件使我們可以套用Egorov's theorem: 犧牲一塊小測度讓X_n的收斂變成uniform, 再套用類似arrenwu的作法(一直把定義域作適當的分割) 至於定義域測度無窮的反例:(本質上就是conv. a.s.不imply conv. in prob.那個反例) X_k, M_n: |R -> |R with Lebesgue measure X_k(x) = 1, if |x| > k; 0, otherwise M_n(x) = n, if |x| > n^-1; 0, otherwise 則 (1) X_n -> 0 a.s. (2) M_n -> oo in probability. (Since for any K, P(M_n < K) = n^-1 if n > K) (3) X_{M_n(x)}(x) = X_n(x), if |x| > n^-1; 0, otherwise Hence, X_{M_n(x)}(x) = 1, if |x| > n; 0, otherwise Therefore, P(|X_{M_n}| >= 1) = P(x:|x| > n) = oo for all n; That is, X_{M_n} does not converge to 0 in probability. : : 想了一整天想不太出來 : : 感覺是用定義就能寫出來的題目 : : 但不太理解隨機變數下標是一個隨機變數要怎麼用條件 : : 長得很像subsequence的樣子，感覺可以用柯西數列來證明？ : : 不知道有沒有大大能給個提示 : : 非常感謝 : 我也滿久沒有寫這類型習題了 大家討論看看 :) : 這裡主要用到的性質是「如果條件A可以得到條件B，則 P(A) <= P(B)」 : (a) : M_n → ∞ Λ X_n → 0 可以推得 X_{Mn} → 0 : 所以 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) <= P(X_{Mn} → 0) : 而這個題目裡面兩個 almost sure 性質則保證了 : P(M_n → ∞) = 1 且 P(X_n → 0) = 1 ， : 故 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) = 1 : 所以我們可以得到 P(X_{Mn} → 0) = 1，也就是 X_{Mn} → 0 almost surely. : (b) : 這問題的目標是證明: 選定任何ε>0，我們都有 lim P(|X_{Mn}| > ε) = 0 : 所以我們就先選一個 ε>0 ....(1) : P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) (X_n -> 0 almost sure) ...(2) : 從 X_n → 0 這個條件，我們可以選一個正整數 Nε 使得 : |X_n| < ε for all n >= Nε ................(3) : (2)+(3): : |X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0 可推得 |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε : 所以 P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) : <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) ...... (4) : 接著我們引入一個條件 Mn >= Nε : 從(4)式可進而得到 : P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) : = P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε) : + P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε) ...(5) : 現在我們來看 (5) 裡面兩個機率事件 : |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε 這個事件不可能發生， : 所以機率為零； : 另一方面 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε) : <= P(Mn < Nε) : 所以 (5) 可以整理成 : P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) <= P(Mn < Nε) ...(6) : 將上面的式子全部組合起來： : (2) : P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) : (4) : <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) : (6) : <= P(Mn < Nε) ...(7) : 對(7) 兩邊取 n→∞ : lim P(|X_{Mn}| > ε) <= lim P(Mn < Nε) = 0 (Mn->∞ in probability) Q.E.D. --

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