※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之铭言： : ※ 引述《yuyuyuai (>0<)》之铭言： : : https://i.imgur.com/Mzx3qyQ.jpg 承前, 只讨论(b) 结论: 需要对X_n的定义域加上"测度有限"的限制才会是对的 测度有限这个条件使我们可以套用Egorov's theorem: 牺牲一块小测度让X_n的收敛变成uniform, 再套用类似arrenwu的作法(一直把定义域作适当的分割) 至於定义域测度无穷的反例:(本质上就是conv. a.s.不imply conv. in prob.那个反例) X_k, M_n: |R -> |R with Lebesgue measure X_k(x) = 1, if |x| > k; 0, otherwise M_n(x) = n, if |x| > n^-1; 0, otherwise 则 (1) X_n -> 0 a.s. (2) M_n -> oo in probability. (Since for any K, P(M_n < K) = n^-1 if n > K) (3) X_{M_n(x)}(x) = X_n(x), if |x| > n^-1; 0, otherwise Hence, X_{M_n(x)}(x) = 1, if |x| > n; 0, otherwise Therefore, P(|X_{M_n}| >= 1) = P(x:|x| > n) = oo for all n; That is, X_{M_n} does not converge to 0 in probability. : : 想了一整天想不太出来 : : 感觉是用定义就能写出来的题目 : : 但不太理解随机变数下标是一个随机变数要怎麽用条件 : : 长得很像subsequence的样子，感觉可以用柯西数列来证明？ : : 不知道有没有大大能给个提示 : : 非常感谢 : 我也满久没有写这类型习题了 大家讨论看看 :) : 这里主要用到的性质是「如果条件A可以得到条件B，则 P(A) <= P(B)」 : (a) : M_n → ∞ Λ X_n → 0 可以推得 X_{Mn} → 0 : 所以 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) <= P(X_{Mn} → 0) : 而这个题目里面两个 almost sure 性质则保证了 : P(M_n → ∞) = 1 且 P(X_n → 0) = 1 ， : 故 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) = 1 : 所以我们可以得到 P(X_{Mn} → 0) = 1，也就是 X_{Mn} → 0 almost surely. : (b) : 这问题的目标是证明: 选定任何ε>0，我们都有 lim P(|X_{Mn}| > ε) = 0 : 所以我们就先选一个 ε>0 ....(1) : P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) (X_n -> 0 almost sure) ...(2) : 从 X_n → 0 这个条件，我们可以选一个正整数 Nε 使得 : |X_n| < ε for all n >= Nε ................(3) : (2)+(3): : |X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0 可推得 |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε : 所以 P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) : <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) ...... (4) : 接着我们引入一个条件 Mn >= Nε : 从(4)式可进而得到 : P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) : = P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε) : + P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε) ...(5) : 现在我们来看 (5) 里面两个机率事件 : |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε 这个事件不可能发生， : 所以机率为零； : 另一方面 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε) : <= P(Mn < Nε) : 所以 (5) 可以整理成 : P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) <= P(Mn < Nε) ...(6) : 将上面的式子全部组合起来： : (2) : P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) : (4) : <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) : (6) : <= P(Mn < Nε) ...(7) : 对(7) 两边取 n→∞ : lim P(|X_{Mn}| > ε) <= lim P(Mn < Nε) = 0 (Mn->∞ in probability) Q.E.D. --

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