作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [中學] 三角函數的極值問題
時間Wed Oct 18 01:41:48 2023
※ 引述《choun (原來跑步這麼舒服)》之銘言：
: A點在(0,12), B點在(7,5)，P點在(x,0)，試問讓 PA/PB 為最小值的P點，那時的
: tan(∠APB)= ???
: https://imgur.com/a/l9CBsEA
: 我把這題整理了一下… 但是寫不出接下來的步驟…我用desmos抓P點應該是在(-18,0)
: 但是除了微分，我想不到高中三角函數應該怎麼做… @@
: 還請大大們幫忙看看！謝謝~~~
k 很好用，下面是另一種直接算的方式。
(x^2 + 144)/[(x-7)^2 + 25]
= 1 + 14(x+5)/[(x-7)^2 + 25]
= 1 + 14(x+5)/[(x+5)^2 - 24(x+5) + 169]
= 1 + 14/[(x+5) - 24 + 169/(x+5)]
剛剛的計算先假設 x 不是 -5 這個讓 PA/PB = 1 的數字，
所以我們先另外算一下：
如果 x = -5，那可以由 tan 的差角公式得
tan(∠APB) = 7(12-x)/(x^2-7x+60) = 119/120。
當 x 比 -5 大，1 + 14/[(x+5) - 24 + 169/(x+5)] ≦ 1 + 14/(26-24) = 8。
而 x 比 -5 小的時候，1 + 14/[(x+5) -24 +169/(x+5)] ≧ 1 +14/(-26-24) = 18/25。
另一方面，1 + 14/[(x+5) - 24 + 169/(x+5)] 在 (-5,8) 和 (8,∞) 上的單調性，
可以從 (x+5) + 169/(x+5) 的單調性看出來。
所以最小值 = 18/25，此時 x+5 = -13，即 x = -18。
代入 tan(∠APB) = 7(12-x)/(x^2-7x+60) = 7/17。
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總覺得 7 跟 17 在計算中出現的次數有點多，不知道有沒有辦法更早看到結果。
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1F：推 Starvilo : (x+5) + 169/(x+5)把負號提出，算幾～ 10/18 06:44
2F：推 choun : 哇！規劃全局更清楚了！！謝謝大大。 10/18 08:35
3F：推 deathcustom : 提出一個有趣的觀察：A,B,B'(7,-5),P(-18,0)共圓 10/18 11:21
4F：→ deathcustom : 圓心剛好是(-5,0) 10/18 11:21
5F：→ deathcustom : 還在想這中間有沒有甚麼可以用圓跟三角的特性的地方 10/18 11:22
6F：推 choun : death大~ 真的耶！如你所說，這樣用對稱點來展開 10/18 18:11
7F：→ choun : 畫面可能有三角函數的可能…我昨天除了k法也想半天 10/18 18:12
8F：推 choun : 換句話說P點要跟ABB'共圓，才會有PA/PB最小的情形… 10/18 18:14
9F：→ choun : why???咦？？？我再想想看 10/18 18:14