作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [中学] 三角函数的极值问题
时间Wed Oct 18 01:41:48 2023
※ 引述《choun (原来跑步这麽舒服)》之铭言：
: A点在(0,12), B点在(7,5)，P点在(x,0)，试问让 PA/PB 为最小值的P点，那时的
: tan(∠APB)= ???
: https://imgur.com/a/l9CBsEA
: 我把这题整理了一下… 但是写不出接下来的步骤…我用desmos抓P点应该是在(-18,0)
: 但是除了微分，我想不到高中三角函数应该怎麽做… @@
: 还请大大们帮忙看看！谢谢~~~
k 很好用，下面是另一种直接算的方式。
(x^2 + 144)/[(x-7)^2 + 25]
= 1 + 14(x+5)/[(x-7)^2 + 25]
= 1 + 14(x+5)/[(x+5)^2 - 24(x+5) + 169]
= 1 + 14/[(x+5) - 24 + 169/(x+5)]
刚刚的计算先假设 x 不是 -5 这个让 PA/PB = 1 的数字，
所以我们先另外算一下：
如果 x = -5，那可以由 tan 的差角公式得
tan(∠APB) = 7(12-x)/(x^2-7x+60) = 119/120。
当 x 比 -5 大，1 + 14/[(x+5) - 24 + 169/(x+5)] ≦ 1 + 14/(26-24) = 8。
而 x 比 -5 小的时候，1 + 14/[(x+5) -24 +169/(x+5)] ≧ 1 +14/(-26-24) = 18/25。
另一方面，1 + 14/[(x+5) - 24 + 169/(x+5)] 在 (-5,8) 和 (8,∞) 上的单调性，
可以从 (x+5) + 169/(x+5) 的单调性看出来。
所以最小值 = 18/25，此时 x+5 = -13，即 x = -18。
代入 tan(∠APB) = 7(12-x)/(x^2-7x+60) = 7/17。
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总觉得 7 跟 17 在计算中出现的次数有点多，不知道有没有办法更早看到结果。
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1F：推 Starvilo : (x+5) + 169/(x+5)把负号提出，算几～ 10/18 06:44
2F：推 choun : 哇！规划全局更清楚了！！谢谢大大。 10/18 08:35
3F：推 deathcustom : 提出一个有趣的观察：A,B,B'(7,-5),P(-18,0)共圆 10/18 11:21
4F：→ deathcustom : 圆心刚好是(-5,0) 10/18 11:21
5F：→ deathcustom : 还在想这中间有没有甚麽可以用圆跟三角的特性的地方 10/18 11:22
6F：推 choun : death大~ 真的耶！如你所说，这样用对称点来展开 10/18 18:11
7F：→ choun : 画面可能有三角函数的可能…我昨天除了k法也想半天 10/18 18:12
8F：推 choun : 换句话说P点要跟ABB'共圆，才会有PA/PB最小的情形… 10/18 18:14
9F：→ choun : why???咦？？？我再想想看 10/18 18:14