作者deathcustom (Full House)
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標題Re: [中學] 多邊形相似與三角形相似的條件差異
時間Tue Oct 3 14:30:13 2023
※ 引述《martin7887 (martin)》之銘言：
: 國中在學相似的時候，當二圖形滿足：
: 1: 對應邊長均等比例
: 2: 對應角均相等
: 則可以說二圖形相似
: 可是為什麼到了三角形可以有 sss 相似？
: 我知道可以證明，但請問有什麼邏輯推理的方式可以說明？
: 謝謝
簡單來說可以從餘弦定理出發
餘弦定理：
對任意三角形具有
cosC = [a^2+b^2-c^2]/2ab
cosB = [a^2+c^2-b^2]/2ac
cosA = [b^2+c^2-a^2]/2bc
今給定另一三角形具有ka,kb,kc且設其三角為A',B',C'
根據餘弦定理可知
cosA' = k^2[b^2+c^2-a^2]/[2bck^2] = [b^2+c^2-a^2]/2bc = cosA
同理可知cosB' = cosB, cosC'=cosC
因此對於三角形，sss <=> AAA
回到你的問題
一般而言兩個圖形相似的條件是
1. 對應角均相等；且
2. 對應邊均成相同比例
這個證明只是在說
對三角形來說
1 if and only if 2
所以我上面才用了sss <=> AAA這個表述式
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正弦的話還要先證明對應外接圓成比例，我沒仔細想
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※ 編輯: deathcustom (211.23.191.211 臺灣), 10/03/2023 15:00:47
1F：推 arrenwu : 我感覺從餘弦定理出發有循環論證的問題了？ 10/03 18:17
2F：→ arrenwu : 弦函數要能被定義的前提就是三角形的AA相似性質吧？ 10/03 18:18
3F：→ wohtp : 幾何就這點難搞：沒幾個人真的知道怎麼從歐氏公設推 10/03 18:56
4F：→ wohtp : 整套出來。我真不知道證這題什麼可以用什麼不能用。 10/03 18:56
5F：→ wohtp : 不過歐幾里得本人沒有三角函數可以用，這點是肯定的 10/03 18:56
6F：→ wohtp : 。 10/03 18:56
7F：推 sunev : SSS全等在幾何原本的proposition 8，算蠻前面就證的 10/03 23:11
9F：→ sunev : propI8.html 10/03 23:13
10F：→ sunev : 順帶一提，law of sine在BOOK I的prop. 19 10/03 23:14
11F：→ sunev : law of cosine在BOOK II的prop 12 10/03 23:14
12F：→ deathcustom : 不不不，PROP. VIII是在證明全等(equal)，不是相似 10/04 10:13
13F：→ deathcustom : 相似相關的"Theory of Proportion"是BOOK V 10/04 10:15
14F：→ deathcustom : 幾何原本中，相似三角形是BOOK VI, PROP. V 10/04 10:25
15F：推 sunev : prop 8.是在證sss就是全等，照定義全等就是相似啊？ 10/04 17:24
16F：推 ERT312 : 但是相似不一定全等 10/04 20:43
17F：推 sunev : 但我以為原來的問題是為什麼三角形sss就代表相似 10/05 02:12
18F：推 ERT312 : 原po的問題是"為何三角形有SSS相似這性質" 10/05 07:16
19F：→ ERT312 : 三角形SSS相似是指"若兩個三角形的三組對應邊成比例 10/05 07:17
20F：→ ERT312 : 則這兩個三角形相似" 與三角形全等無關。 10/05 07:18
21F：推 sunev : 了解，謝謝說明。 10/05 10:58