作者deathcustom (Full House)
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标题Re: [中学] 多边形相似与三角形相似的条件差异
时间Tue Oct 3 14:30:13 2023
※ 引述《martin7887 (martin)》之铭言：
: 国中在学相似的时候，当二图形满足：
: 1: 对应边长均等比例
: 2: 对应角均相等
: 则可以说二图形相似
: 可是为什麽到了三角形可以有 sss 相似？
: 我知道可以证明，但请问有什麽逻辑推理的方式可以说明？
: 谢谢
简单来说可以从余弦定理出发
余弦定理：
对任意三角形具有
cosC = [a^2+b^2-c^2]/2ab
cosB = [a^2+c^2-b^2]/2ac
cosA = [b^2+c^2-a^2]/2bc
今给定另一三角形具有ka,kb,kc且设其三角为A',B',C'
根据余弦定理可知
cosA' = k^2[b^2+c^2-a^2]/[2bck^2] = [b^2+c^2-a^2]/2bc = cosA
同理可知cosB' = cosB, cosC'=cosC
因此对於三角形，sss <=> AAA
回到你的问题
一般而言两个图形相似的条件是
1. 对应角均相等；且
2. 对应边均成相同比例
这个证明只是在说
对三角形来说
1 if and only if 2
所以我上面才用了sss <=> AAA这个表述式
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正弦的话还要先证明对应外接圆成比例，我没仔细想
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 211.23.191.211 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1696314616.A.F92.html
※ 编辑: deathcustom (211.23.191.211 台湾), 10/03/2023 15:00:47
1F：推 arrenwu : 我感觉从余弦定理出发有循环论证的问题了？ 10/03 18:17
2F：→ arrenwu : 弦函数要能被定义的前提就是三角形的AA相似性质吧？ 10/03 18:18
3F：→ wohtp : 几何就这点难搞：没几个人真的知道怎麽从欧氏公设推 10/03 18:56
4F：→ wohtp : 整套出来。我真不知道证这题什麽可以用什麽不能用。 10/03 18:56
5F：→ wohtp : 不过欧几里得本人没有三角函数可以用，这点是肯定的 10/03 18:56
6F：→ wohtp : 。 10/03 18:56
7F：推 sunev : SSS全等在几何原本的proposition 8，算蛮前面就证的 10/03 23:11
9F：→ sunev : propI8.html 10/03 23:13
10F：→ sunev : 顺带一提，law of sine在BOOK I的prop. 19 10/03 23:14
11F：→ sunev : law of cosine在BOOK II的prop 12 10/03 23:14
12F：→ deathcustom : 不不不，PROP. VIII是在证明全等(equal)，不是相似 10/04 10:13
13F：→ deathcustom : 相似相关的"Theory of Proportion"是BOOK V 10/04 10:15
14F：→ deathcustom : 几何原本中，相似三角形是BOOK VI, PROP. V 10/04 10:25
15F：推 sunev : prop 8.是在证sss就是全等，照定义全等就是相似啊？ 10/04 17:24
16F：推 ERT312 : 但是相似不一定全等 10/04 20:43
17F：推 sunev : 但我以为原来的问题是为什麽三角形sss就代表相似 10/05 02:12
18F：推 ERT312 : 原po的问题是"为何三角形有SSS相似这性质" 10/05 07:16
19F：→ ERT312 : 三角形SSS相似是指"若两个三角形的三组对应边成比例 10/05 07:17
20F：→ ERT312 : 则这两个三角形相似" 与三角形全等无关。 10/05 07:18
21F：推 sunev : 了解，谢谢说明。 10/05 10:58