※ 引述《psw (ICK)》之銘言： : https://i.imgur.com/lFkNHmC.jpg : https://i.imgur.com/rEHlC6B.jpg : 就突然令X1,X2，Y : 請問數學高手們 : 這是什麼手法？ : 有人可以說的更明確細節或白話文嗎？ : 小弟我智商頗低， : XD 寫這樣最直覺的目的就是降階 原本一個二階 θ" = f(θ) 變為兩個一階 x1' = x2 x2' = -(g/l)sin x1 --- (*) 把(*)式 左邊乘 x2，右邊乘 x1' 得 x2'x2 = -(g/l)x1' sin x1 兩邊首次積分得 (1/2) (x2)^2 = (g/l)cos x1 + constant (1/2) (x2)^2 - (g/l)cos x1 = c 會對應某個守恆量 在這裡是力學能(當然兩邊必須再乘單擺質量之類的係數) 再舉個高中學過的簡諧運動 光滑水平面上的彈簧上的質點運動 以平衡點為原點可得 mx" = -kx 這個二階ODE很好解 (不像單擺的θ(t)無法用初等函數表達) 不過我們用以上的手法看看 令x1=x，x2=x1' 可得 mx2'=-kx1 兩邊分別乘x2與x1'得到 mx2'x2 = -kx1x1' 兩邊積分得 (1/2)m(x2)^2 = -(1/2)k(x1)^2 + c (1/2)m(x2)^2 + (1/2)k(x1)^2 = c 對應的也是力學能守恆 其實也可以不用令x1,x2 再舉個行星受恆星萬有引力運動 假設恆星M不動，以恆星為原點 M>>m m的運動方程為 ^ mr"=-{GMm/|r|^2} r --- (**) 其中r為m的位置向量 |r|為r的大小(M m的距離) ^ r r = --- |r| 把(**)式兩邊跟 r' 做內積 ^ ^ ^' mr"r'=-{GMm/|r|^2} r (|r|' r + |r| r ) = -GMm|r|'/|r|^2 + 0 (1/2)m(r'r')' = {GMm/|r|}' 得到守恆量 (1/2)m|r'|^2 - GMm/|r| = c 這個手法稱為 first integral (of an ODE) 不過不是每個例子都能得到初等函數解 例如你課本上的單擺運動繼續做下去就會出現橢圓積分啦 --

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