※ 引述《psw (ICK)》之铭言： : https://i.imgur.com/lFkNHmC.jpg : https://i.imgur.com/rEHlC6B.jpg : 就突然令X1,X2，Y : 请问数学高手们 : 这是什麽手法？ : 有人可以说的更明确细节或白话文吗？ : 小弟我智商颇低， : XD 写这样最直觉的目的就是降阶 原本一个二阶 θ" = f(θ) 变为两个一阶 x1' = x2 x2' = -(g/l)sin x1 --- (*) 把(*)式 左边乘 x2，右边乘 x1' 得 x2'x2 = -(g/l)x1' sin x1 两边首次积分得 (1/2) (x2)^2 = (g/l)cos x1 + constant (1/2) (x2)^2 - (g/l)cos x1 = c 会对应某个守恒量 在这里是力学能(当然两边必须再乘单摆质量之类的系数) 再举个高中学过的简谐运动 光滑水平面上的弹簧上的质点运动 以平衡点为原点可得 mx" = -kx 这个二阶ODE很好解 (不像单摆的θ(t)无法用初等函数表达) 不过我们用以上的手法看看 令x1=x，x2=x1' 可得 mx2'=-kx1 两边分别乘x2与x1'得到 mx2'x2 = -kx1x1' 两边积分得 (1/2)m(x2)^2 = -(1/2)k(x1)^2 + c (1/2)m(x2)^2 + (1/2)k(x1)^2 = c 对应的也是力学能守恒 其实也可以不用令x1,x2 再举个行星受恒星万有引力运动 假设恒星M不动，以恒星为原点 M>>m m的运动方程为 ^ mr"=-{GMm/|r|^2} r --- (**) 其中r为m的位置向量 |r|为r的大小(M m的距离) ^ r r = --- |r| 把(**)式两边跟 r' 做内积 ^ ^ ^' mr"r'=-{GMm/|r|^2} r (|r|' r + |r| r ) = -GMm|r|'/|r|^2 + 0 (1/2)m(r'r')' = {GMm/|r|}' 得到守恒量 (1/2)m|r'|^2 - GMm/|r| = c 这个手法称为 first integral (of an ODE) 不过不是每个例子都能得到初等函数解 例如你课本上的单摆运动继续做下去就会出现椭圆积分啦 --

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