請問各位板友一個對函數做Lagrange interpolation的問題, 先看這個連結 https://www.desmos.com/calculator/cegj2qpzez 先定義名詞: (1) 強N次多項式: x^N的領導係數不為0 (2) N次多項式: 多項式至多N次方 再來回到圖, P(x)是一個通過(1,0), (s,log_2(s)), (2,1)三個點的強二次多項式 即通過三點的拉格朗日插值多項式 接著滑動s時, 會發現s越趨近於1^+時, P(x)越接近P_L(x) 而s越趨近於2^-時, P(x)越接近P_R(x) 先描述以上這種現象叫作退化 然後從這個例子觀察出兩個現象: (1) 退化成功, 即係數的極限值都存在 (2) 退化後還是強二次多項式, 並不是變成通過(1,0),(2,1)兩個點的一次多項式 然後從其他例子發現: (1) 對f(x)=x做(0,0),(s,s),(1,1)的二次多項式內插, 出來的多項式仍是P(x)=x 即便退化後仍是P(x)=x 也就是說, 原本三個點決定的多項式式是強一次多項式, 退化後仍是強一次多項式 (2) 對log_2(x)做(1,0), (s,log_2(s)), (p, log_2(p)), 的強二次多項式內插 先把s逼近到1, 仍是強二次多項式, 再把p逼近到1, 也還是強二次多項式 不論是單退化(三點剩二點)還是雙退化(三點剩一點) 退化後仍是極限存在的強二次多項式 (2) 對log_2(x)做(1,0), (s,log_2(s)), (p, log_2(p)), (r,log_2(r)) 的強三次多項式內插, 不論單退化、雙退化、三退化 退化後仍是極限存在的強三次多項式 因此我想請問跟猜測的兩個面向是: 【理論】 上述的log_2(x)現象是巧合還是有定理支持? 我猜測的定理是: 令f(x)為定義在[a,b]的連續函數 在[a,b]中任取N個相異點a_1,...,a_N, 對(a_1,f(a_1)),...,(a_N,f(a_N)) 造出N-1次的多項式P(x), (此P(x)唯一並且至多N-1次) 則我們有: (1) 對任何n<=N-1, n點的退化是均勻收斂 (2) 若P(x)是強M次多項式, 上述的退化亦是強M次多項式 這裡的任何n點退化很廣泛, 即任挑n點、任意順序的退化, 都會收斂並且還是強M次 (退化就是依序把某個a_i當變數, 其他a_j固定, 對多項式P(x)取lim{a_i→a_j}) 也就是說強M次的M已經被當初的a_1,...,a_N決定了, 不管怎麼退化仍會是強M次多項式 【實作】 我在 #1ajhtDXJ 問極限的電腦實作問題就是源自於這篇 我想對(1,0), (s,log_2(s)), (p, log_2(p)), (2,1)這四個點做三次多項式 但是實務上我無法控制使用者的s跟p會不會很靠近到浮點數的相等 也無法控制s or p會不會很靠近1 or 2到浮點數的相等 而即便浮點數不相等, 但是很靠近的話, 會導致這個三次多項式的closed form的係數 出現0除以0的情形 這個問題有其他解法嗎? 還是一樣只能靠我上篇問的方式, 設threshold/大數運算來解 ---------------------------------------------------------- 以上兩個面向詢問, 謝謝幫忙~ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1689965257.A.465.html 確實很吃函數的微分值, 令f(x)=cos(2*pi*x), a=0, b=1, s€(a,b) 則造P(x)為通過(0,f(0)), (s,f(s)), (1,f(s))的強二次多項式 會發現s不管退化成0還是1, 最後退化出的多項式都變成常數 https://www.desmos.com/calculator/aqnxzlmcgr 光三個點要整理成ax^2+bx+c然後做羅畢達就花不少時間算 四個點我好沒有勇氣XDDDD 嗨L大, 謝謝分享, 不過我不太理解你02:29~02:34的意思 看起來你說的"合併"是點的合併, 但是這樣不就降次了嗎 以log_2(x)這個例子來說, 通過(1,0),(s,log_2(s)), (2,1)三個點的強二次多項式P(x) 對s→0還是得到強二次多項式P_L(x), 然後會通過(1,0), (2,1)兩個點 然後當然也可以針對(1,0),(2,1)這兩個點直接造出強一次多項式L(x) 你那幾行的回應是在討論如何從P(x)退化到L(x)? 了解~ 沒用過divided diff, 剛剛去查發現跟Lagrange Interpolation有等式上的關係式 想問P大你推文的內容, 感覺可以寫出任何退化的closed form多項式!? 如果可以的話我之後去研究一下, 謝謝! 如我上面給的連結 https://www.desmos.com/calculator/aqnxzlmcgr 光是算出三個點中的一個點的左右退化就好辛苦 因為我需要把Lagrange內插整理成a_n*x^n+...+a_0後再逐一對係數做羅畢達 我不敢想像四個點的各種退化情況會多複雜... Soga! 我是嵌入式系統上要實作某個非線性函數, 需要用到log_2(x) 其中我用多項式P(x)來逼近log_2(x), 1<=x<=2 而這個非線性函數一般會有兩個不連續點, 經過計算我只要讓P(x)通過 (1,0), (s,log_2(s)), (p,log_2(p)), (2,1)這四個點, 那就可以讓那兩個不連續點消失 而s跟p的決定是使用者會輸入一些參數t而轉換來的, 也就是說s=U_1(t), p=U_2(t) 雖然U_1,U_2這兩個轉換函數已知, 但是我自己跑參數確實會讓一些t導致: s=p or s=1 or p=1 or s=p=1... 這也是為什麼我會問Lagrange退化的公式與實做的原因 因為如果知道退化公式, 我可以設定某個threshold讓內插點相等或極近時代入退化公式 同時我又擔心內插點極近但是沒有過我的threshold所造成的P(x)誤差問題 (因為P(x)這個多項式的係數充滿著內插點相似而產生0+/0+情況) 也就是說, 使用者決定t→程式轉換成s,p→程式轉換成多項式P(x)的四個係數a_3~a_0 然後開機運行時會一直進來x, 就會讓P(x)跑a_3*x^3+a_2*x^2+a_1*x+a_0 我是這樣實作沒錯, 不過不是因為精度因素, 而是這樣的乘法數量比較少XDD 你說的"穩定"是這樣也有精度比較高的好處? 在log_2(x)這個case中, 係數極限退化是比較好的沒錯 點數減少的退化方式會降次方, 誤差整個就上去了QQ 喔喔 你的意思是如果退化, 那就隨便補點來維持三次多項式 這樣就繞過手動計算極限係數了, 這approach解決我一半問題耶XDD 謝謝 維持三次多項式的話, 確實可以細部處理以下case: (1) s=p=1 :選擇額外兩點(p1,log_2(p1)), (p2,log_2(p2))使得誤差最小 (2) s=1, s!=p:選擇額外一點(p1,log_2(p1))使得誤差最小 (3) p=1, s!=p:選擇額外一點(p1,log_2(p1))使得誤差最小 不過如果s,p,1,2這四點皆相異的係數精度是夠的話, 我是打算採取最簡單的方式: 如果這四點有誰相等, 就加個float_epsilon, 強制讓這三個點是浮點不相等 然後照原四點的內插公式算係數 這我也沒聽過QQ 查了是數值分析領域的方法 P大提這個內插方式是優化哪個部份呢? 了解~ 原來Taylor跟Lagrange都是Hermite的特例! 之前完全沒研究過Hermite說 我之後再理論研究, 謝謝V大的idea ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 07/24/2023 00:15:54