请问各位板友一个对函数做Lagrange interpolation的问题, 先看这个连结 https://www.desmos.com/calculator/cegj2qpzez 先定义名词: (1) 强N次多项式: x^N的领导系数不为0 (2) N次多项式: 多项式至多N次方 再来回到图, P(x)是一个通过(1,0), (s,log_2(s)), (2,1)三个点的强二次多项式 即通过三点的拉格朗日插值多项式 接着滑动s时, 会发现s越趋近於1^+时, P(x)越接近P_L(x) 而s越趋近於2^-时, P(x)越接近P_R(x) 先描述以上这种现象叫作退化 然後从这个例子观察出两个现象: (1) 退化成功, 即系数的极限值都存在 (2) 退化後还是强二次多项式, 并不是变成通过(1,0),(2,1)两个点的一次多项式 然後从其他例子发现: (1) 对f(x)=x做(0,0),(s,s),(1,1)的二次多项式内插, 出来的多项式仍是P(x)=x 即便退化後仍是P(x)=x 也就是说, 原本三个点决定的多项式式是强一次多项式, 退化後仍是强一次多项式 (2) 对log_2(x)做(1,0), (s,log_2(s)), (p, log_2(p)), 的强二次多项式内插 先把s逼近到1, 仍是强二次多项式, 再把p逼近到1, 也还是强二次多项式 不论是单退化(三点剩二点)还是双退化(三点剩一点) 退化後仍是极限存在的强二次多项式 (2) 对log_2(x)做(1,0), (s,log_2(s)), (p, log_2(p)), (r,log_2(r)) 的强三次多项式内插, 不论单退化、双退化、三退化 退化後仍是极限存在的强三次多项式 因此我想请问跟猜测的两个面向是: 【理论】 上述的log_2(x)现象是巧合还是有定理支持? 我猜测的定理是: 令f(x)为定义在[a,b]的连续函数 在[a,b]中任取N个相异点a_1,...,a_N, 对(a_1,f(a_1)),...,(a_N,f(a_N)) 造出N-1次的多项式P(x), (此P(x)唯一并且至多N-1次) 则我们有: (1) 对任何n<=N-1, n点的退化是均匀收敛 (2) 若P(x)是强M次多项式, 上述的退化亦是强M次多项式 这里的任何n点退化很广泛, 即任挑n点、任意顺序的退化, 都会收敛并且还是强M次 (退化就是依序把某个a_i当变数, 其他a_j固定, 对多项式P(x)取lim{a_i→a_j}) 也就是说强M次的M已经被当初的a_1,...,a_N决定了, 不管怎麽退化仍会是强M次多项式 【实作】 我在 #1ajhtDXJ 问极限的电脑实作问题就是源自於这篇 我想对(1,0), (s,log_2(s)), (p, log_2(p)), (2,1)这四个点做三次多项式 但是实务上我无法控制使用者的s跟p会不会很靠近到浮点数的相等 也无法控制s or p会不会很靠近1 or 2到浮点数的相等 而即便浮点数不相等, 但是很靠近的话, 会导致这个三次多项式的closed form的系数 出现0除以0的情形 这个问题有其他解法吗? 还是一样只能靠我上篇问的方式, 设threshold/大数运算来解 ---------------------------------------------------------- 以上两个面向询问, 谢谢帮忙~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1689965257.A.465.html 确实很吃函数的微分值, 令f(x)=cos(2*pi*x), a=0, b=1, s€(a,b) 则造P(x)为通过(0,f(0)), (s,f(s)), (1,f(s))的强二次多项式 会发现s不管退化成0还是1, 最後退化出的多项式都变成常数 https://www.desmos.com/calculator/aqnxzlmcgr 光三个点要整理成ax^2+bx+c然後做罗毕达就花不少时间算 四个点我好没有勇气XDDDD 嗨L大, 谢谢分享, 不过我不太理解你02:29~02:34的意思 看起来你说的"合并"是点的合并, 但是这样不就降次了吗 以log_2(x)这个例子来说, 通过(1,0),(s,log_2(s)), (2,1)三个点的强二次多项式P(x) 对s→0还是得到强二次多项式P_L(x), 然後会通过(1,0), (2,1)两个点 然後当然也可以针对(1,0),(2,1)这两个点直接造出强一次多项式L(x) 你那几行的回应是在讨论如何从P(x)退化到L(x)? 了解~ 没用过divided diff, 刚刚去查发现跟Lagrange Interpolation有等式上的关系式 想问P大你推文的内容, 感觉可以写出任何退化的closed form多项式!? 如果可以的话我之後去研究一下, 谢谢! 如我上面给的连结 https://www.desmos.com/calculator/aqnxzlmcgr 光是算出三个点中的一个点的左右退化就好辛苦 因为我需要把Lagrange内插整理成a_n*x^n+...+a_0後再逐一对系数做罗毕达 我不敢想像四个点的各种退化情况会多复杂... Soga! 我是嵌入式系统上要实作某个非线性函数, 需要用到log_2(x) 其中我用多项式P(x)来逼近log_2(x), 1<=x<=2 而这个非线性函数一般会有两个不连续点, 经过计算我只要让P(x)通过 (1,0), (s,log_2(s)), (p,log_2(p)), (2,1)这四个点, 那就可以让那两个不连续点消失 而s跟p的决定是使用者会输入一些参数t而转换来的, 也就是说s=U_1(t), p=U_2(t) 虽然U_1,U_2这两个转换函数已知, 但是我自己跑参数确实会让一些t导致: s=p or s=1 or p=1 or s=p=1... 这也是为什麽我会问Lagrange退化的公式与实做的原因 因为如果知道退化公式, 我可以设定某个threshold让内插点相等或极近时代入退化公式 同时我又担心内插点极近但是没有过我的threshold所造成的P(x)误差问题 (因为P(x)这个多项式的系数充满着内插点相似而产生0+/0+情况) 也就是说, 使用者决定t→程式转换成s,p→程式转换成多项式P(x)的四个系数a_3~a_0 然後开机运行时会一直进来x, 就会让P(x)跑a_3*x^3+a_2*x^2+a_1*x+a_0 我是这样实作没错, 不过不是因为精度因素, 而是这样的乘法数量比较少XDD 你说的"稳定"是这样也有精度比较高的好处? 在log_2(x)这个case中, 系数极限退化是比较好的没错 点数减少的退化方式会降次方, 误差整个就上去了QQ 喔喔 你的意思是如果退化, 那就随便补点来维持三次多项式 这样就绕过手动计算极限系数了, 这approach解决我一半问题耶XDD 谢谢 维持三次多项式的话, 确实可以细部处理以下case: (1) s=p=1 :选择额外两点(p1,log_2(p1)), (p2,log_2(p2))使得误差最小 (2) s=1, s!=p:选择额外一点(p1,log_2(p1))使得误差最小 (3) p=1, s!=p:选择额外一点(p1,log_2(p1))使得误差最小 不过如果s,p,1,2这四点皆相异的系数精度是够的话, 我是打算采取最简单的方式: 如果这四点有谁相等, 就加个float_epsilon, 强制让这三个点是浮点不相等 然後照原四点的内插公式算系数 这我也没听过QQ 查了是数值分析领域的方法 P大提这个内插方式是优化哪个部份呢? 了解~ 原来Taylor跟Lagrange都是Hermite的特例! 之前完全没研究过Hermite说 我之後再理论研究, 谢谢V大的idea ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 07/24/2023 00:15:54