作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[線代] 請問這個證明的直證法(Solved)
時間Fri Jun 16 01:16:39 2023
想請問這個性質有沒有
直接的證法, 我證的有點迂迴...
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令A€M_mxn(F), F = R or C,
b€range of A
則 Ax = b <=> A^*A x = A^*b, 其中A^*是A的transpose conjugate
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直證"=>"很容易, 但是另外一個方向我毫無頭緒, 因為
A^*無法消掉
而迂迴的證法如下:
令S_1 := {Ax=b}
S_2 := {A^*A x = A^*b}
則 原命題 等價於證明 S_1=S_2
pf: (1) S_1≦S_2 很明顯(≦是被包含)
(2) 因為b€R(A), 所以S_1非空, 寫成齊次解加上特解x_1, 即S_1 = N(A) + x_1
因S_1≦S_2所以S_2非空, 寫成齊次解加上特解x_2, 即S_2 = N(A^*A) + x_2
然後因為N(A)=N(A^*A), 令為W
因此S_1 = W + x_1, S_2 = W + x_2
再來由S_1≦S_2, 我們會得到 W + x_1 ≦ W + x_2
接著很容易得到: (a) x_1-x_2€W
(b) W + x_1 = W + x_2
因此S_1=S_2, 證畢
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也就是說, 如果b不屬於R(A), 那S_1是空集合, S_2有可能非空, S_2比較大
(例如A=((0,1),(0,0), b=(1,1))
但是如果b€R(A), 會發現S_1就是S_2, 也就是說, 當S_1非空,
S_2就不會比較大
不過
直接從 A^*Ax = A^*b我真的很難推出Ax=b...
謝謝幫忙~
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1F：推 cuylerLin : 考慮等價的投影問題，例如簡單線性回歸（OLS）06/16 02:39
2F：→ yhliu : b in range of A 表示存在 y 使 b = Ay06/16 07:58
3F：→ yhliu : Ax=Ay <==> A(x-y) = 0 ==> A*A(x-y) = 006/16 08:00
4F：→ yhliu : A*A(x-y)=0 <==> A*Ax = A*Ay = A*b06/16 08:01
5F：→ yhliu : A*A(x-y) = 0 ==> (x-y)*A*A(x-y)=0 ==> A(x-y)=006/16 08:02
6F：→ znmkhxrw : y大這個最直證, 謝謝!06/16 09:45
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 06/16/2023 09:46:47
7F：→ musicbox810 : Ax=Ay，有沒有可能從頭到尾x就等於y?這樣後面的證明 06/16 10:24
8F：→ musicbox810 : 有意義嗎?或者A具有1-1性質? 06/16 10:24
9F：→ znmkhxrw : 不衝突啊 A 1-1反而秒殺 y大這方式是for any A 06/16 18:49