作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[线代] 请问这个证明的直证法(Solved)
时间Fri Jun 16 01:16:39 2023
想请问这个性质有没有
直接的证法, 我证的有点迂回...
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令A€M_mxn(F), F = R or C,
b€range of A
则 Ax = b <=> A^*A x = A^*b, 其中A^*是A的transpose conjugate
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直证"=>"很容易, 但是另外一个方向我毫无头绪, 因为
A^*无法消掉
而迂回的证法如下:
令S_1 := {Ax=b}
S_2 := {A^*A x = A^*b}
则 原命题 等价於证明 S_1=S_2
pf: (1) S_1≦S_2 很明显(≦是被包含)
(2) 因为b€R(A), 所以S_1非空, 写成齐次解加上特解x_1, 即S_1 = N(A) + x_1
因S_1≦S_2所以S_2非空, 写成齐次解加上特解x_2, 即S_2 = N(A^*A) + x_2
然後因为N(A)=N(A^*A), 令为W
因此S_1 = W + x_1, S_2 = W + x_2
再来由S_1≦S_2, 我们会得到 W + x_1 ≦ W + x_2
接着很容易得到: (a) x_1-x_2€W
(b) W + x_1 = W + x_2
因此S_1=S_2, 证毕
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也就是说, 如果b不属於R(A), 那S_1是空集合, S_2有可能非空, S_2比较大
(例如A=((0,1),(0,0), b=(1,1))
但是如果b€R(A), 会发现S_1就是S_2, 也就是说, 当S_1非空,
S_2就不会比较大
不过
直接从 A^*Ax = A^*b我真的很难推出Ax=b...
谢谢帮忙~
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1F：推 cuylerLin : 考虑等价的投影问题，例如简单线性回归（OLS）06/16 02:39
2F：→ yhliu : b in range of A 表示存在 y 使 b = Ay06/16 07:58
3F：→ yhliu : Ax=Ay <==> A(x-y) = 0 ==> A*A(x-y) = 006/16 08:00
4F：→ yhliu : A*A(x-y)=0 <==> A*Ax = A*Ay = A*b06/16 08:01
5F：→ yhliu : A*A(x-y) = 0 ==> (x-y)*A*A(x-y)=0 ==> A(x-y)=006/16 08:02
6F：→ znmkhxrw : y大这个最直证, 谢谢!06/16 09:45
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 06/16/2023 09:46:47
7F：→ musicbox810 : Ax=Ay，有没有可能从头到尾x就等於y?这样後面的证明 06/16 10:24
8F：→ musicbox810 : 有意义吗?或者A具有1-1性质? 06/16 10:24
9F：→ znmkhxrw : 不冲突啊 A 1-1反而秒杀 y大这方式是for any A 06/16 18:49