作者mathblue (anlysis)
看板Math
標題[中學] 組合
時間Mon Jun 12 13:16:02 2023
證明：若二項式(7x+1)^n的展開式中至少有兩項係數相同，則n≡7 (mod8)。
觀察一些例子後發現只能式是相鄰兩項相等，就能有後面的結論。
但是一直沒有比較嚴謹一點的證明。因此，上來請教各位。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.64.45.128 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1686546964.A.B2C.html
1F：推 a16745984 : 整理後發現 得n=7(mod8)時 項次是8n+7 n=0,1,2…, 06/12 23:09
2F：→ a16745984 : 係數相等是因為隔壁項C(8n+7)(n) 除以 C(8n+7)(n+1 06/12 23:09
3F：→ a16745984 : ) =7 至少有一相等 06/12 23:09
4F：→ a16745984 : 比較嚴謹的證明？指得是比較高難度的技巧嗎？ 06/12 23:11
5F：→ a16745984 : 阿 看錯證明的方向了 題目的方向比較難證 06/12 23:15
6F：→ yhliu : 想了很久仍不知如何證明非相鄰兩項，係數不可能相等 06/13 09:19
7F：推 Starvilo : 每7個數只有1個7的倍數，但每差1位就差7的因數 06/13 17:18
8F：推 Starvilo : 當我上面沒說，也許高冪次有！ 06/13 18:04
9F：推 Starvilo : 相鄰的想法 參考看看 06/14 18:36
11F：推 Starvilo : 補充（n-r1)x~x(n-r2+1)有d項 06/14 18:43
12F：推 Starvilo : 所以（n-r1)/7=r1+1=> n=8r1+7 得證 06/14 18:52
13F：→ musicbox810 : 可以解釋一下不等式怎麼來的嗎? 06/14 21:15
14F：推 Starvilo : 至少有7個因數的個數 06/14 21:21
15F：→ Starvilo : 7的 06/14 21:22
16F：推 Starvilo : 簡單的說分子的7次方大於等於分母的7次方，但分子 06/14 21:31
17F：→ Starvilo : 的7次方要如何取？考慮每連續7數必有一數7的倍數， 06/14 21:31
18F：→ Starvilo : 以此類推連續49就有49倍數 06/14 21:31
19F：→ musicbox810 : 第一個不等號不太懂 06/14 21:33
20F：→ musicbox810 : 好像懂了!我再想想看，謝謝S大 06/14 21:34
21F：→ musicbox810 : 第一個不等號還是不懂為何是小於等於 06/14 21:48
22F：推 Starvilo : D為分母小於等於分子？ 06/14 22:11
23F：→ musicbox810 : d是r1和r2的差，要看的不是(n-r1)(n-r1-1)...的7的 06/14 22:19
24F：→ musicbox810 : 因數嗎?可是為何是用d/7^i的方式求7的次數? 06/14 22:19
25F：推 Starvilo : 連續乘就因為分子連續數剛好是d個，這d個至少可提 06/14 22:30
26F：→ Starvilo : 出幾個7，就除7的幂次 06/14 22:30
27F：推 Starvilo : 分子個數（n-r1)-(n-r2+1)+1=r2-r1=d 06/14 22:38
28F：→ musicbox810 : 請問[/7^i]+......+1為什麼要+1? 06/14 22:42
29F：推 Starvilo : r2 r1先天條件兩不相等 06/14 22:44
30F：→ Starvilo : r2-r1>=1 06/14 22:44
31F：→ musicbox810 : 謝謝S大花這麼多時間解釋，我再好好想一想，謝謝S大 06/14 22:46
32F：推 Starvilo : 題目兩係數相等 組合選取錯要不同啊～一個r1一個r 06/14 22:47
33F：→ Starvilo : 2 06/14 22:47
34F：→ Starvilo : 錯改數 06/14 22:47
35F：→ musicbox810 : 是的，r1-r2>=1 06/14 22:54
36F：推 Starvilo : 我再思考應該不用加1 ，1<=d<=d/6 右邊矛盾，所以 06/15 00:35
37F：→ Starvilo : 只有1可能。 06/15 00:35
38F：推 Starvilo : 我在重新研究一下！XD 06/15 08:04
39F：推 Starvilo : 配合數的幂次 06/15 08:05